Номер 9.243, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволиней-ной трапеции, ограниченной данными линиями, и выпол-ните соответствующий чертеж.

9.243. $f(x) = 3 - x^2$, $g(x) = x^2 + 1$.

9.243. Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = 3 - x^2$ и $g(x) = x^2 + 1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти пределы интегрирования.

Пределы интегрирования являются x-координатами точек пересечения графиков. Чтобы их найти, приравняем функции друг к другу:

$f(x) = g(x)$

$3 - x^2 = x^2 + 1$

$2 = 2x^2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования, $a = -1$ и $b = 1$.

2. Определить, какая функция больше на интервале интегрирования.

Возьмем любую точку из интервала $(-1, 1)$, например, $x = 0$.

$f(0) = 3 - 0^2 = 3$

$g(0) = 0^2 + 1 = 1$

Поскольку $f(0) > g(0)$, на всем интервале $[-1, 1]$ график функции $f(x)$ находится выше графика функции $g(x)$.

3. Вычислить площадь как определенный интеграл.

Площадь $\text{S}$ фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$

Подставляем наши функции и пределы:

$S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (x^2 + 1)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{-1}^{1} (3 - x^2 - x^2 - 1) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$

Теперь вычислим интеграл:

$S = \left. \left( 2x - \frac{2x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{1} = \left(2(1) - \frac{2(1)^3}{3}\right) - \left(2(-1) - \frac{2(-1)^3}{3}\right)$

$S = \left(2 - \frac{2}{3}\right) - \left(-2 - \frac{-2}{3}\right) = \left(\frac{6}{3} - \frac{2}{3}\right) - \left(-\frac{6}{3} + \frac{2}{3}\right)$

$S = \frac{4}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

4. Выполнить чертеж.

График $f(x) = 3 - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$.

График $g(x) = x^2 + 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 1)$.

Фигура, площадь которой мы ищем, заключена между этими двумя параболами от $x=-1$ до $x=1$.

Ответ: $S = \frac{8}{3}$.