Номер 9.241, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.241. $f(x)=x^3$, $g(x) = \frac{1}{x}$, $x = 2$.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = f(x) = x^3$, $y = g(x) = \frac{1}{x}$ и $x=2$, первым шагом определим границы интегрирования. Одна граница задана условием $x=2$. Вторую границу найдем, определив точку пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$.

Приравняем выражения для функций:

$x^3 = \frac{1}{x}$

Поскольку $x=0$ не принадлежит области определения функции $g(x)$, мы можем умножить обе части уравнения на $\text{x}$:

$x^4 = 1$

Уравнение имеет два действительных корня: $x=1$ и $x=-1$. Так как заданная граница $x=2$ положительна, нас интересует положительный корень $x=1$. Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[1, 2]$.

Далее необходимо определить, какая из функций на этом отрезке является верхней, а какая — нижней. Для этого сравним значения функций. Для любого $x > 1$ выполняется $x^3 > 1$ и $0 < \frac{1}{x} < 1$. Следовательно, на всем отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) = x^3$ будет больше функции $g(x) = \frac{1}{x}$, то есть $x^3 \ge \frac{1}{x}$.

Площадь $\text{S}$ фигуры, ограниченной сверху графиком функции $y = f_{\text{верх}}(x)$ и снизу графиком функции $y = f_{\text{нижн}}(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (f_{\text{верх}}(x) - f_{\text{нижн}}(x)) \,dx$

В данном случае $a=1, b=2, f_{\text{верх}}(x)=x^3, f_{\text{нижн}}(x)=\frac{1}{x}$. Подставляем в формулу:

$S = \int_1^2 \left(x^3 - \frac{1}{x}\right) dx$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для подынтегральной функции равна $\frac{x^4}{4} - \ln|x|$:

$S = \left[\frac{x^4}{4} - \ln|x|\right]_1^2 = \left(\frac{2^4}{4} - \ln|2|\right) - \left(\frac{1^4}{4} - \ln|1|\right)$

Учитывая, что $\ln(1)=0$ и для $x>0$, $|x|=x$:

$S = \left(\frac{16}{4} - \ln(2)\right) - \left(\frac{1}{4} - 0\right) = 4 - \ln(2) - \frac{1}{4}$

$S = \frac{15}{4} - \ln(2)$

Чертёж:

В системе координат OXY строятся графики функций $y=x^3$ (кубическая парабола) и $y=\frac{1}{x}$ (гипербола). Они пересекаются в точке $(1, 1)$. Также строится вертикальная прямая $x=2$. Искомая фигура — это область, заключенная между кривой $y=x^3$ (сверху), кривой $y=\frac{1}{x}$ (снизу), и ограниченная по оси $\text{x}$ отрезком $[1, 2]$. Эта область заштриховывается. На прямой $x=2$ она ограничена точками $(2, 1/2)$ и $(2, 8)$.

Ответ: $\frac{15}{4} - \ln(2)$