Номер 9.242, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.242. $f(x)=x+1$, $g(x)=(x-1)^2$.

9.242. Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = x + 1$ и $g(x) = (x - 1)^2$, в первую очередь необходимо найти точки пересечения этих графиков. Для этого приравняем выражения для функций:

$f(x) = g(x)$

$x + 1 = (x - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 1 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Эти значения являются абсциссами точек пересечения графиков и будут пределами интегрирования.

Далее нужно определить, какая из функций имеет большее значение на интервале $(0, 3)$. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$.

$f(1) = 1 + 1 = 2$

$g(1) = (1 - 1)^2 = 0^2 = 0$

Так как $f(1) > g(1)$, на всем отрезке $[0, 3]$ график функции $f(x)$ (прямая) находится выше графика функции $g(x)$ (парабола).

Площадь $\text{S}$ фигуры, ограниченной кривыми, вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $\text{a}$ до $\text{b}$:

$S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$

Подставим наши данные:

$S = \int_{0}^{3} [(x + 1) - (x - 1)^2] dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = x + 1 - x^2 + 2x - 1 = -x^2 + 3x$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right)$

$S = \left( -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} \right) - 0 = -9 + \frac{27}{2} = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2}$

$S = 4.5$

Чертеж:

1. Постройте в системе координат $Oxy$ график функции $f(x) = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

2. Постройте график функции $g(x) = (x - 1)^2$. Это парабола, полученная сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо. Ее вершина находится в точке $(1, 0)$, а ветви направлены вверх.

3. Графики пересекаются в точках, которые мы нашли ранее: $(0, 1)$ и $(3, 4)$.

4. Искомая фигура — это область, заключенная между прямой $y = x+1$ (сверху) и параболой $y = (x-1)^2$ (снизу), ограниченная по бокам вертикальными линиями $x=0$ и $x=3$. Заштрихуйте эту область.

Ответ: $S = \frac{9}{2}$.