Номер 9.245, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.244-9.247 найдите объем тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси Ox.

9.245. $y = 2x - 6, x \in [3; 5]$.

9.245. Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси $Ox$, вычисляется по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае нам дана функция $y = 2x - 6$ на отрезке $x \in [3; 5]$. На этом отрезке функция неотрицательна, так как $y(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 0$ и функция является возрастающей.

Подставим данные в формулу объема: $V = \pi \int_{3}^{5} (2x - 6)^2 dx$

Для вычисления интеграла раскроем квадрат двучлена: $(2x - 6)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 6 + 6^2 = 4x^2 - 24x + 36$

Теперь интеграл принимает вид: $V = \pi \int_{3}^{5} (4x^2 - 24x + 36) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции, используя таблицу интегралов: $\int (4x^2 - 24x + 36) dx = 4\frac{x^3}{3} - 24\frac{x^2}{2} + 36x = \frac{4}{3}x^3 - 12x^2 + 36x$

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: $V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 - 12x^2 + 36x \right]_{3}^{5}$

Подставим пределы интегрирования: $V = \pi \left( \left(\frac{4}{3} \cdot 5^3 - 12 \cdot 5^2 + 36 \cdot 5\right) - \left(\frac{4}{3} \cdot 3^3 - 12 \cdot 3^2 + 36 \cdot 3\right) \right)$

Вычислим значение выражения в каждой из скобок. Пусть $F(x) = \frac{4}{3}x^3 - 12x^2 + 36x$. $F(5) = \frac{4}{3} \cdot 5^3 - 12 \cdot 5^2 + 36 \cdot 5 = \frac{4}{3} \cdot 125 - 12 \cdot 25 + 180 = \frac{500}{3} - 300 + 180 = \frac{500}{3} - 120 = \frac{500 - 360}{3} = \frac{140}{3}$ $F(3) = \frac{4}{3} \cdot 3^3 - 12 \cdot 3^2 + 36 \cdot 3 = \frac{4}{3} \cdot 27 - 12 \cdot 9 + 108 = 4 \cdot 9 - 108 + 108 = 36$

Найдем разность и окончательный объем: $V = \pi (F(5) - F(3)) = \pi \left( \frac{140}{3} - 36 \right) = \pi \left( \frac{140}{3} - \frac{108}{3} \right) = \pi \cdot \frac{32}{3} = \frac{32\pi}{3}$

Ответ: $\frac{32\pi}{3}$