Номер 9.239, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.239. $f(x)=x^2+x$, $g(x)=x+1$.

9.239. Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $f(x) = x^2 + x$ и $g(x) = x + 1$, необходимо выполнить следующие шаги: найти точки пересечения графиков для определения пределов интегрирования, определить, какая функция является верхней, а какая нижней на этом промежутке, и вычислить соответствующий определенный интеграл.

1. Нахождение пределов интегрирования

Приравняем выражения для функций, чтобы найти абсциссы точек их пересечения:

$f(x) = g(x)$

$x^2 + x = x + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 1 = 0$

Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти значения являются пределами интегрирования.

2. Определение подынтегральной функции

Площадь фигуры, заключенной между графиками двух функций $g(x)$ и $f(x)$, на отрезке $[a, b]$, где $g(x) \ge f(x)$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) dx$

Чтобы определить, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-1, 1)$, выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$.

$f(0) = 0^2 + 0 = 0$

$g(0) = 0 + 1 = 1$

Так как $g(0) > f(0)$, на интервале $[-1, 1]$ график прямой $g(x) = x + 1$ расположен выше графика параболы $f(x) = x^2 + x$.

Следовательно, подынтегральная функция будет равна разности $g(x) - f(x)$:

$g(x) - f(x) = (x + 1) - (x^2 + x) = 1 - x^2$

3. Вычисление площади

Подставляем полученные данные в формулу для площади:

$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right)$

$S = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \left(\frac{2}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right)$

$S = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

4. Чертёж

На чертеже изображены парабола $y = x^2 + x$ (синий цвет), прямая $y = x + 1$ (красный цвет). Искомая площадь — это область, закрашенная зеленым цветом, заключенная между этими двумя линиями на отрезке от $x = -1$ до $x = 1$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.