Номер 9.246, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.244-9.247 найдите объем тела, полученного вращением данной кривой вокруг оси Ox.

9.246. $y = e^x$, $x \in [0; \ln3]$.

9.246. Объем тела, полученного вращением кривой $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$ В данном случае $f(x) = e^x$, $a = 0$, $b = \ln 3$. Подставим эти значения в формулу: $V = \pi \int_{0}^{\ln 3} (e^x)^2 dx = \pi \int_{0}^{\ln 3} e^{2x} dx$ Найдем первообразную для функции $e^{2x}$. Первообразная равна $\frac{1}{2}e^{2x}$. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{0}^{\ln 3} e^{2x} dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{\ln 3} = \frac{1}{2}e^{2\ln 3} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0}$ Используя свойство логарифма $k\ln a = \ln a^k$ и свойство экспоненты $e^{\ln a} = a$, получим: $e^{2\ln 3} = e^{\ln 3^2} = e^{\ln 9} = 9$ Также учтем, что $e^0 = 1$. Подставим вычисленные значения обратно в выражение: $\frac{1}{2}e^{2\ln 3} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Таким образом, объем тела вращения равен: $V = \pi \cdot 4 = 4\pi$

Ответ: $4\pi$