Номер 9.252, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.252. Моторная лодка затратила 5 ч, чтобы проплыть 14 км по течению реки и 9 км против течения. Какова скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч?

Пусть $\text{x}$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(5 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(5 - x)$ км/ч. Поскольку лодка движется против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x < 5$.

Время, которое лодка затратила на путь по течению, равно $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{14}{5+x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, равно $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{9}{5-x}$ часов.

Общее время движения $t_{общ} = t_1 + t_2$, что по условию задачи составляет 5 часов. Составим уравнение:

$\frac{14}{5+x} + \frac{9}{5-x} = 5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(5+x)(5-x) = 25 - x^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(5-x)$, для второй — $(5+x)$.

$\frac{14(5-x) + 9(5+x)}{(5+x)(5-x)} = 5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{70 - 14x + 45 + 9x}{25 - x^2} = 5$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{115 - 5x}{25 - x^2} = 5$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $25 - x^2$, при условии, что $x \neq \pm 5$:

$115 - 5x = 5(25 - x^2)$

$115 - 5x = 125 - 5x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 5x + 115 - 125 = 0$

$5x^2 - 5x - 10 = 0$

Разделим все уравнение на 5 для упрощения:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -2. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=-1$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Скорость течения реки не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, единственное верное решение — $x=2$.

Выполним проверку. Если скорость течения равна 2 км/ч:

Время движения по течению: $\frac{14}{5+2} = \frac{14}{7} = 2$ часа.

Время движения против течения: $\frac{9}{5-2} = \frac{9}{3} = 3$ часа.

Общее время: $2 + 3 = 5$ часов. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 2 км/ч.