Номер 9.256, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.256. В зрительном зале было 320 посадочных мест. После того как количество посадочных мест в каждому ряду увеличили на 4 и добавили еще один ряд, количество мест стало равным 420. Сколько рядов было в зрительном зале первоначально?

Пусть $\text{r}$ — первоначальное количество рядов в зрительном зале, а $\text{s}$ — первоначальное количество посадочных мест в каждом ряду. По условию, изначально общее количество мест было 320. Это можно выразить уравнением:

$r \cdot s = 320$

После того как количество мест в каждом ряду увеличили на 4, а количество рядов увеличили на 1, общее число мест стало 420. Это приводит ко второму уравнению:

$(r + 1)(s + 4) = 420$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} r \cdot s = 320 \\ (r+1)(s+4) = 420 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $\text{s}$ через $\text{r}$:

$s = \frac{320}{r}$

Теперь подставим это выражение для $\text{s}$ во второе уравнение системы:

$(r+1)(\frac{320}{r} + 4) = 420$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$r \cdot \frac{320}{r} + r \cdot 4 + 1 \cdot \frac{320}{r} + 1 \cdot 4 = 420$

$320 + 4r + \frac{320}{r} + 4 = 420$

Приведем подобные слагаемые:

$4r + \frac{320}{r} + 324 = 420$

Перенесем 324 в правую часть:

$4r + \frac{320}{r} = 420 - 324$

$4r + \frac{320}{r} = 96$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $\text{r}$ (так как количество рядов $\text{r}$ не может быть равно нулю):

$4r^2 + 320 = 96r$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4r^2 - 96r + 320 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:

$r^2 - 24r + 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать, например, теорему Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 24, а произведение равно 80. Эти числа — 20 и 4. Таким образом, корни уравнения:

$r_1 = 20$, $r_2 = 4$

Оба корня являются положительными целыми числами, поэтому необходимо проверить, подходят ли оба варианта под условия задачи.

Случай 1: Первоначально было 20 рядов.

В этом случае количество мест в каждом ряду было $s = \frac{320}{20} = 16$. После изменений количество рядов стало $20 + 1 = 21$, а количество мест в ряду — $16 + 4 = 20$. Общее количество мест стало $21 \cdot 20 = 420$. Этот вариант удовлетворяет условиям задачи.

Случай 2: Первоначально было 4 ряда.

В этом случае количество мест в каждом ряду было $s = \frac{320}{4} = 80$. После изменений количество рядов стало $4 + 1 = 5$, а количество мест в ряду — $80 + 4 = 84$. Общее количество мест стало $5 \cdot 84 = 420$. Этот вариант также удовлетворяет условиям задачи.

Поскольку в условии нет дополнительной информации, которая бы позволила исключить один из вариантов, задача имеет два возможных решения.

Ответ: первоначально в зрительном зале могло быть 20 рядов или 4 ряда.