Номер 9.257, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.257. Бассейн наполняется двумя трубами за 12 ч. Первая труба заполняет бассейн на 10 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов каждая труба, действуя отдельно, заполнит бассейн?

Пусть время, за которое первая труба заполняет бассейн, равно $t_1$ часов, а время, за которое вторая труба заполняет бассейн, равно $t_2$ часов. Весь объем бассейна примем за 1.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы составляет $\frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $\frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

Из условия известно, что первая труба заполняет бассейн на 10 часов быстрее, чем вторая. Это означает, что $t_1$ на 10 меньше, чем $t_2$. Запишем это в виде уравнения:

$t_1 = t_2 - 10$

Когда обе трубы работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность равна $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$. По условию, вместе они заполняют бассейн за 12 часов, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{12}$ бассейна в час. Составим второе уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{t_2 - 10} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_2(t_2 - 10)$:

$\frac{t_2 + (t_2 - 10)}{t_2(t_2 - 10)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2t_2 - 10}{t_2^2 - 10t_2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции (крест-накрест):

$12(2t_2 - 10) = 1(t_2^2 - 10t_2)$

$24t_2 - 120 = t_2^2 - 10t_2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$t_2^2 - 10t_2 - 24t_2 + 120 = 0$

$t_2^2 - 34t_2 + 120 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения для $t_2$:

$t_{2,1} = \frac{-(-34) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{34 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$t_{2,2} = \frac{-(-34) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{34 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Мы получили два возможных значения для времени второй трубы. Проверим оба.

1. Если $t_2 = 30$ часов, то время первой трубы $t_1 = t_2 - 10 = 30 - 10 = 20$ часов. Оба значения положительны и осмысленны.

2. Если $t_2 = 4$ часа, то время первой трубы $t_1 = t_2 - 10 = 4 - 10 = -6$ часов. Время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не является решением задачи.

Следовательно, единственно верное решение: вторая труба заполняет бассейн за 30 часов, а первая — за 20 часов.

Ответ: первая труба заполнит бассейн за 20 часов, а вторая — за 30 часов.