Номер 9.232, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.230-9.232 вычислите интегралы.

9.232. 1) $\int_0^a (x^2 - ax)dx$;

2) $\int_{\pi/8}^{\pi/6} \frac{dx}{\cos^2 2x}$;

3) $\int_0^{\pi/4} \sin^2 x$;

4) $\int_0^{\pi/4} \cos^2 xdx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_0^a (x^2 - ax)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 - ax$, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (x^2 - ax)dx = \int x^2 dx - a \int x dx = \frac{x^3}{3} - a \frac{x^2}{2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:

$\int_0^a (x^2 - ax)dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} \right]_0^a = \left(\frac{a^3}{3} - \frac{a \cdot a^2}{2}\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{a \cdot 0^2}{2}\right) = \frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{2} - 0 = \frac{2a^3 - 3a^3}{6} = -\frac{a^3}{6}$.

Ответ: $-\frac{a^3}{6}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\cos^2 2x}$ найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 2x}$.

Используем табличный интеграл $\int \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u + C$. В нашем случае, если сделать замену $u = 2x$, то $du = 2dx$ и $dx = \frac{du}{2}$. Тогда $\int \frac{dx}{\cos^2 2x} = \int \frac{1}{\cos^2 u} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \tan u + C = \frac{1}{2}\tan(2x) + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\cos^2 2x} = \left[ \frac{1}{2}\tan(2x) \right]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}\tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2}\tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим известные значения тангенсов $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

3) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x dx$ необходимо понизить степень подынтегральной функции. Воспользуемся тригонометрической формулой $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2x)) dx$.

Найдем первообразную для функции $1 - \cos(2x)$:

$F(x) = \int (1 - \cos(2x)) dx = \int 1 dx - \int \cos(2x) dx = x - \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) - \left(0 - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)\right) \right)$.

$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} = \frac{\pi-2}{8}$.

Ответ: $\frac{\pi-2}{8}$.

4) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x dx$ используем формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos(2x)) dx$.

Первообразная для функции $1 + \cos(2x)$ равна:

$F(x) = \int (1 + \cos(2x)) dx = \int 1 dx + \int \cos(2x) dx = x + \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)\right) \right)$.

$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{\pi+2}{8}$.

Ответ: $\frac{\pi+2}{8}$.