Номер 9.227, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.224-9.229 найдите неопределенный интеграл.

9.227. 1) $\int \sin^2xdx$;

2) $\int \cos^2 2xdx$.

1) Для нахождения интеграла $\int \sin^2x\,dx$ необходимо понизить степень подынтегральной функции. Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени, которая следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.

Выразим из этой формулы $\sin^2x$:

$\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Теперь подставим полученное выражение в исходный интеграл:

$\int \sin^2x\,dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \,dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла и представим интеграл от разности как разность интегралов:

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x))\,dx = \frac{1}{2} \left( \int 1\,dx - \int \cos(2x)\,dx \right)$

Теперь найдем каждый из интегралов. Интеграл от единицы равен $\text{x}$. Интеграл от $\cos(2x)$ является табличным, с учетом множителя при аргументе:

$\int 1\,dx = x$

$\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2} \sin(2x)$

Подставим найденные интегралы обратно в выражение и добавим константу интегрирования $\text{C}$:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$

Ответ: $\frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$

2) Для нахождения интеграла $\int \cos^2(2x)\,dx$ также используем формулу понижения степени. Она следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Выразим из этой формулы $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

В нашем случае аргумент $\alpha = 2x$, поэтому формула примет вид:

$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

Подставим это выражение в наш интеграл:

$\int \cos^2(2x)\,dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2}\,dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла и разобьем его на сумму интегралов:

$\frac{1}{2} \int (1 + \cos(4x))\,dx = \frac{1}{2} \left( \int 1\,dx + \int \cos(4x)\,dx \right)$

Найдем каждый из интегралов по отдельности:

$\int 1\,dx = x$

$\int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4} \sin(4x)$

Теперь объединим полученные результаты и добавим константу интегрирования $\text{C}$:

$\frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{4} \sin(4x) \right) + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$

Ответ: $\frac{x}{2} + \frac{\sin(4x)}{8} + C$