Номер 9.221, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.221. Тело подброшено вертикально вверх на $10 \text{ м}$ с начальной скоростью $20 \text{ м/с}$. На какую высоту $\text{x}$ тело поднимется через $t \text{ с}$? Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на какой высоте она находится?

На какую высоту x тело поднимется через t с?

Движение тела, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным. Ускорение свободного падения $\text{g}$ направлено вниз. Выберем систему отсчета с началом на поверхности земли и осью, направленной вертикально вверх. Тогда зависимость высоты тела $\text{x}$ от времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$x(t) = h_0 + v_0 t - \frac{g t^2}{2}$

где $h_0$ — начальная высота, $v_0$ — начальная скорость.

Из условия задачи нам дано:

• Начальная высота $h_0 = 10$ м
• Начальная скорость $v_0 = 20$ м/с

Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим известные значения в уравнение движения:

$x(t) = 10 + 20 \cdot t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Упростив выражение, получим формулу для высоты $\text{x}$ в метрах в зависимости от времени $\text{t}$ в секундах:

$x(t) = 10 + 20t - 5t^2$

Ответ: Высота тела $\text{x}$ через $\text{t}$ секунд определяется по формуле $x(t) = 10 + 20t - 5t^2$ м.

Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на какой высоте она находится?

Тело достигает наивысшей точки подъема в тот момент, когда его скорость становится равной нулю. Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении имеет вид:

$v(t) = v_0 - gt$

Найдем время подъема $t_{подъема}$, приравняв скорость к нулю:

$0 = v_0 - gt_{подъема}$

$t_{подъема} = \frac{v_0}{g}$

Подставим значения $v_0 = 20$ м/с и $g = 10 \text{ м/с}^2$:

$t_{подъема} = \frac{20}{10} = 2$ с.

Теперь найдем максимальную высоту $x_{max}$, на которую поднимется тело. Для этого подставим найденное время подъема $t_{подъема} = 2$ с в уравнение для высоты:

$x_{max} = x(2) = 10 + 20 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2$

$x_{max} = 10 + 40 - 5 \cdot 4$

$x_{max} = 10 + 40 - 20 = 30$ м.

Следовательно, тело достигнет наивысшей точки через 2 секунды после броска, и эта точка будет находиться на высоте 30 метров от земли.

Ответ: Тело достигнет наивысшей точки через 2 с; высота этой точки составляет 30 м.