Номер 9.225, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.224-9.229 найдите неопределенный инте-грал.

9.225. 1) $\int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$

2) $\int \frac{3 - 2\cot^2 x}{\cos^2 x} dx$

3) $\int e^{-3x} dx$

4) $\int (3x - \sin 4x)dx$

1) Для решения интеграла $ \int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x \cos^2 x}dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.

Подставим это выражение в подынтегральную функцию: $ \int \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx $

Разделим числитель на знаменатель почленно: $ \int (\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}) dx = \int (\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}) dx $

Интеграл от разности функций равен разности интегралов: $ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx $

Это табличные интегралы: $ \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\mathrm{ctg}\,x + C_1 $ и $ \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \mathrm{tg}\,x + C_2 $.

Объединяя результаты, получаем: $ -\mathrm{ctg}\,x - \mathrm{tg}\,x + C $, где $ C $ — константа интегрирования.

Ответ: $ -\mathrm{ctg}\,x - \mathrm{tg}\,x + C $

2) Рассмотрим интеграл $ \int \frac{3-2\mathrm{ctg}^2x}{\cos^2 x}dx $. Разделим подынтегральное выражение на два слагаемых: $ \int (\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2\mathrm{ctg}^2x}{\cos^2 x}) dx $

Используем определение котангенса $ \mathrm{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x} $, тогда $ \mathrm{ctg}^2x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} $.

Подставим это во второе слагаемое: $ \frac{2\mathrm{ctg}^2x}{\cos^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}}{\cos^2 x} = \frac{2}{\sin^2 x} $

Теперь интеграл принимает вид: $ \int (\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sin^2 x}) dx = 3\int \frac{1}{\cos^2 x} dx - 2\int \frac{1}{\sin^2 x} dx $

Используя табличные интегралы, получаем: $ 3\mathrm{tg}\,x - 2(-\mathrm{ctg}\,x) + C = 3\mathrm{tg}\,x + 2\mathrm{ctg}\,x + C $.

Ответ: $ 3\mathrm{tg}\,x + 2\mathrm{ctg}\,x + C $

3) Для нахождения интеграла $ \int e^{-3x} dx $ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $ u = -3x $. Тогда дифференциал $ du = -3dx $, откуда $ dx = -\frac{1}{3}du $.

Подставим в интеграл: $ \int e^u (-\frac{1}{3}du) = -\frac{1}{3} \int e^u du $

Интеграл от экспоненты $ \int e^u du = e^u + C $.

Таким образом, получаем: $ -\frac{1}{3} e^u + C $

Выполним обратную замену $ u = -3x $: $ -\frac{1}{3} e^{-3x} + C $.

Ответ: $ -\frac{1}{3}e^{-3x} + C $

4) Для нахождения интеграла $ \int (3x - \sin 4x)dx $ воспользуемся свойством линейности интеграла. Интеграл от разности равен разности интегралов: $ \int 3x dx - \int \sin 4x dx $

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

Первый интеграл: $ \int 3x dx = 3 \int x dx = 3 \frac{x^2}{2} + C_1 $.

Второй интеграл: $ \int \sin 4x dx $. Применим замену $ u = 4x $, тогда $ du = 4dx $ и $ dx = \frac{1}{4}du $. $ \int \sin u \cdot \frac{1}{4}du = \frac{1}{4} \int \sin u du = \frac{1}{4} (-\cos u) + C_2 = -\frac{1}{4}\cos 4x + C_2 $.

Объединяя результаты, получаем: $ \frac{3}{2}x^2 - (-\frac{1}{4}\cos 4x) + C = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}\cos 4x + C $.

Ответ: $ \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}\cos 4x + C $