Номер 9.228, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.224–9.229 найдите неопределенный интеграл.

9.228. 1) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}$;

2) $\int \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}$.

1) Найдем неопределенный интеграл $ \int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}} $.

Этот интеграл можно свести к табличному интегралу вида $ \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin{\frac{u}{a}} + C $.

Преобразуем подынтегральное выражение, выделив полный квадрат. Заметим, что $ 4x^2 = (2x)^2 $.

Введем новую переменную $ t = 2x $.

Найдем дифференциал $ dt = d(2x) = 2dx $, откуда можно выразить $ dx = \frac{dt}{2} $.

Подставим новую переменную в интеграл:

$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}} = \int \frac{\frac{dt}{2}}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} $.

Полученный интеграл $ \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} $ является табличным, и его значение равно $ \arcsin{t} $.

Следовательно, $ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{2} \arcsin{t} + C $.

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $ t $ его выражение через $ x $, то есть $ t = 2x $:

$ \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C $.

Ответ: $ \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C $.

2) Найдем неопределенный интеграл $ \int \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}} $.

Этот интеграл сводится к табличному интегралу вида $ \int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}} = \ln|u + \sqrt{a^2+u^2}| + C $, который также известен как "длинный логарифм".

По аналогии с предыдущим пунктом, преобразуем выражение под корнем: $ 1+4x^2 = 1^2 + (2x)^2 $.

Произведем замену переменной: $ t = 2x $.

Тогда дифференциал $ dt = 2dx $, и, соответственно, $ dx = \frac{dt}{2} $.

Подставим замену в исходный интеграл:

$ \int \frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}} = \int \frac{\frac{dt}{2}}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} $.

Интеграл $ \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} $ является табличным, его значение равно $ \ln|t + \sqrt{1+t^2}| $.

Таким образом, получаем:

$ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{1}{2} \ln|t + \sqrt{1+t^2}| + C $.

Выполним обратную замену $ t = 2x $:

$ \frac{1}{2} \ln|2x + \sqrt{1+(2x)^2}| + C = \frac{1}{2} \ln|2x + \sqrt{1+4x^2}| + C $.

Ответ: $ \frac{1}{2} \ln|2x + \sqrt{1+4x^2}| + C $.