Номер 9.229, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.224-9.229 найдите неопределенный интеграл.

9.229. 1) $\int \cos^4 x \cdot \sin^3 xdx;$

2) $\int \sin 3x \cdot \cos 2xdx.$

1) Для нахождения интеграла $\int \cos^4 x \cdot \sin^3 x dx$ воспользуемся тем, что степень синуса нечетная. Выделим один множитель $\sin x$ и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

$\int \cos^4 x \cdot \sin^2 x \cdot \sin x dx = \int \cos^4 x (1 - \cos^2 x) \sin x dx$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, тогда $dt = -\sin x dx$, откуда $\sin x dx = -dt$.

Подставляем в интеграл:

$\int t^4 (1 - t^2) (-dt) = -\int (t^4 - t^6) dt = \int (t^6 - t^4) dt$

Интегрируем по степенной формуле $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$:

$\int (t^6 - t^4) dt = \frac{t^7}{7} - \frac{t^5}{5} + C$

Возвращаемся к исходной переменной, заменяя $\text{t}$ на $\cos x$:

$\frac{\cos^7 x}{7} - \frac{\cos^5 x}{5} + C$

Ответ: $\frac{\cos^7 x}{7} - \frac{\cos^5 x}{5} + C$

2) Для нахождения интеграла $\int \sin 3x \cdot \cos 2x dx$ используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$. Применяем формулу:

$\sin 3x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2}(\sin(3x + 2x) + \sin(3x - 2x)) = \frac{1}{2}(\sin 5x + \sin x)$

Подставим это выражение в исходный интеграл:

$\int \frac{1}{2}(\sin 5x + \sin x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin x) dx$

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int \sin 5x dx + \int \sin x dx \right)$

Находим интегралы, используя табличный интеграл $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$:

$\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5}\cos 5x - \cos x \right) + C = -\frac{1}{10}\cos 5x - \frac{1}{2}\cos x + C$

Ответ: $-\frac{1}{10}\cos 5x - \frac{1}{2}\cos x + C$