Номер 9.222, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.222. Зависимость между количеством вещества x, образующегося в результате химической реакции, и временем t, выражается равенством $x = A(1 - e^{-kt})$. Найдите скорость реакции.

Скорость химической реакции $\text{v}$ по определению является производной от количества вещества $\text{x}$ по времени $\text{t}$. Следовательно, для нахождения скорости реакции необходимо найти производную $\frac{dx}{dt}$ от заданной функции $x(t)$.

Дана зависимость количества вещества от времени: $$x(t) = A(1 - e^{-kt})$$ где $\text{A}$ и $\text{k}$ — положительные постоянные.

Скорость реакции $v(t)$ вычисляется как производная от $x(t)$ по $\text{t}$: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( A(1 - e^{-kt}) \right)$$

Для удобства дифференцирования раскроем скобки в выражении для $x(t)$: $$x(t) = A - Ae^{-kt}$$

Теперь найдем производную этого выражения по времени $\text{t}$. Производная константы $\text{A}$ равна нулю. Для нахождения производной второго слагаемого $-Ae^{-kt}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(t)))' = f'(g(t)) \cdot g'(t)$ и правилом производной экспоненциальной функции $(e^u)' = e^u$.

$$v(t) = \frac{d}{dt}(A) - \frac{d}{dt}(Ae^{-kt}) = 0 - A \cdot \frac{d}{dt}(e^{-kt})$$

Производная показателя степени $-kt$ по $\text{t}$ равна $-k$. Таким образом: $$\frac{d}{dt}(e^{-kt}) = e^{-kt} \cdot \frac{d}{dt}(-kt) = e^{-kt} \cdot (-k)$$

Подставляя это обратно в выражение для скорости, получаем: $$v(t) = -A \cdot (e^{-kt} \cdot (-k))$$

Упрощая, находим окончательное выражение для скорости реакции: $$v(t) = Ake^{-kt}$$

Ответ: $Ake^{-kt}$