Номер 9.215, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.215. Проведя исследование функции, постройте ее график:

1) $y = \frac{x^3}{3} + x^2$

2) $y = x^3 - 6x^2 + 9x$

3) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2 + 1}$

4) $y = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2$

5) $y = \frac{\ln x}{x}$

6) $y = xe^{\frac{x^2}{2}}$

1) $y = \frac{x^3}{3} + x^2$

1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность: $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + (-x)^2 = -\frac{x^3}{3} + x^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка $(0; 0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies \frac{x^3}{3} + x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x}{3} + 1) = 0$. Корни: $x=0$ и $x=-3$. Точки $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.

4. Асимптоты: Так как функция — многочлен, вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума:

Найдем первую производную: $y' = (\frac{x^3}{3} + x^2)' = x^2 + 2x = x(x+2)$.

Критические точки (где $y'=0$): $x=0$ и $x=-2$.

- При $x \in (-\infty; -2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-2; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с `+` на `-`, значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$.

В точке $x=0$ производная меняет знак с `-` на `+`, значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

Найдем вторую производную: $y'' = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$.

Найдем точки, где $y''=0$: $2x+2=0 \implies x=-1$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- При $x \in (-1; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=-1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: Функция определена на всей числовой оси. Пересекает оси в точках $(-3; 0)$ и $(0; 0)$. Локальный максимум в точке $(-2; \frac{4}{3})$, локальный минимум в точке $(0; 0)$. Точка перегиба $(-1; \frac{2}{3})$. Функция возрастает на $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ и убывает на $(-2; 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; -1)$ и выпуклый вниз на $(-1; +\infty)$. На основе этих данных строится график.

2) $y = x^3 - 6x^2 + 9x$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность: $y(-x) = (-x)^3 - 6(-x)^2 + 9(-x) = -x^3 - 6x^2 - 9x$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0; 0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x^3 - 6x^2 + 9x = 0 \implies x(x^2 - 6x + 9) = 0 \implies x(x-3)^2 = 0$. Корни: $x=0$ и $x=3$. Точки $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

4. Асимптоты: Асимптот нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума:

$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$.

Критические точки: $x=1$ и $x=3$.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1; 3)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (3; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

$x=1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 1-6+9 = 4$.

$x=3$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(3) = 3^3 - 6(3^2) + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

$y'' = (3x^2 - 12x + 9)' = 6x - 12 = 6(x-2)$.

Точка перегиба при $y''=0 \implies x=2$.

- При $x \in (-\infty; 2)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

- При $x \in (2; +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

Точка перегиба: $x=2$, $y(2) = 2^3 - 6(2^2) + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2$. Точка $(2; 2)$.

Ответ: Функция определена на всей числовой оси. Пересекает оси в точках $(0; 0)$ и $(3; 0)$ (касание). Локальный максимум в точке $(1; 4)$, локальный минимум в точке $(3; 0)$. Точка перегиба $(2; 2)$. Функция возрастает на $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ и убывает на $(1; 3)$. График выпуклый вверх на $(-\infty; 2)$ и выпуклый вниз на $(2; +\infty)$. На основе этих данных строится график.

3) $y = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

1. Область определения: Знаменатель $x^2+1 \neq 0$ для всех $\text{x}$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность: $y(-x) = \frac{(-x-1)^2}{(-x)^2+1} = \frac{(x+1)^2}{x^2+1}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0 \implies y = \frac{(-1)^2}{1} = 1$. Точка $(0; 1)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies (x-1)^2=0 \implies x=1$. Точка $(1; 0)$.

4. Асимптоты:

- Вертикальных асимптот нет.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{(x-1)^2}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2-2x+1}{x^2+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1-2/x+1/x^2}{1+1/x^2} = 1$. Горизонтальная асимптота $y=1$.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума:

$y' = \frac{2(x-1)(x^2+1) - (x-1)^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x^2+1 - x(x-1))}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$.

Критические точки ($y'=0$): $x=1, x=-1$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

$x=-1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = \frac{(-2)^2}{2} = 2$.

$x=1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 0$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

$y'' = \frac{4x(x^2+1)^2 - 2(x^2-1) \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{4x(x^2+1) - 8x(x^2-1)}{(x^2+1)^3} = \frac{4x^3+4x - 8x^3+8x}{(x^2+1)^3} = \frac{-4x^3+12x}{(x^2+1)^3} = \frac{-4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$.

Точки перегиба ($y''=0$): $x=0, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$.

- При $x \in (-\infty; -\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (-\sqrt{3}; 0)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

- При $x \in (0; \sqrt{3})$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

$y(0)=1$, $y(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = 1-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $y(-\sqrt{3}) = \frac{(-\sqrt{3}-1)^2}{4} = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Функция определена на всей числовой оси. Пересекает оси в точках $(0; 1)$ и $(1; 0)$. Горизонтальная асимптота $y=1$. Локальный максимум в точке $(-1; 2)$, локальный минимум в точке $(1; 0)$. Точки перегиба $(-\sqrt{3}; 1+\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0; 1)$, $(\sqrt{3}; 1-\frac{\sqrt{3}}{2})$. На основе этих данных строится график.

4) $y = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность: $y(-x) = 3x^4 + 8x^3 + 6x^2$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0; 0)$.

- С осью Ox: $y=0 \implies x^2(3x^2 - 8x + 6) = 0$. Уравнение $3x^2 - 8x + 6=0$ не имеет действительных корней (дискриминант $D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = -8 < 0$). Единственный корень $x=0$. Точка $(0; 0)$.

4. Асимптоты: Асимптот нет.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума:

$y' = 12x^3 - 24x^2 + 12x = 12x(x^2 - 2x + 1) = 12x(x-1)^2$.

Критические точки: $x=0$ и $x=1$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; +\infty)$, $y' \ge 0$, функция возрастает (в точке $x=1$ производная равна нулю, но знак не меняется).

$x=0$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$. Так как $y=x^2(3x^2-8x+6)$ и $3x^2-8x+6 > 0$ для всех $\text{x}$, то $y \ge 0$. Следовательно, $(0;0)$ — точка глобального минимума.

$x=1$ — не является точкой экстремума, это стационарная точка (горизонтальная касательная).

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

$y'' = (12x^3 - 24x^2 + 12x)' = 36x^2 - 48x + 12 = 12(3x^2 - 4x + 1) = 12(3x-1)(x-1)$.

Точки перегиба при $y''=0 \implies x=1/3$ и $x=1$.

- При $x \in (-\infty; 1/3)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (1/3; 1)$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

Точки перегиба: $x=1/3$, $y(1/3) = 3(\frac{1}{81}) - 8(\frac{1}{27}) + 6(\frac{1}{9}) = \frac{1-8+18}{27} = \frac{11}{27}$. Точка $(\frac{1}{3}; \frac{11}{27})$.

$x=1$, $y(1) = 3-8+6 = 1$. Точка $(1; 1)$.

Ответ: Функция определена на всей числовой оси. Пересекает оси в точке $(0; 0)$, которая является точкой глобального минимума. Функция убывает на $(-\infty; 0)$ и возрастает на $(0; +\infty)$. Точки перегиба $(\frac{1}{3}; \frac{11}{27})$ и $(1; 1)$. В точке $(1; 1)$ касательная к графику горизонтальна. На основе этих данных строится график.

5) $y = \frac{\ln x}{x}$

1. Область определения: $x>0$ из-за логарифма и $x \neq 0$ из-за знаменателя. $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Четность/нечетность: Область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy: пересечения нет, так как $x>0$.

- С осью Ox: $y=0 \implies \ln x = 0 \implies x=1$. Точка $(1; 0)$.

4. Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$. $x=0$ — вертикальная асимптота.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$). По правилу Лопиталя: $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$. $y=0$ — горизонтальная асимптота.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума:

$y' = \frac{(1/x) \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

Критическая точка ($y'=0$): $1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x=e$.

- При $x \in (0; e)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (e; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

$x=e$ — точка локального (и глобального) максимума. $y_{max} = y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

$y'' = \frac{(-1/x)x^2 - (1-\ln x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4} = \frac{2x\ln x - 3x}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$.

Точка перегиба при $y''=0 \implies 2\ln x - 3 = 0 \implies \ln x = 3/2 \implies x=e^{3/2}$.

- При $x \in (0; e^{3/2})$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

- При $x \in (e^{3/2}; +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

Точка перегиба: $x=e^{3/2}$, $y(e^{3/2}) = \frac{3/2}{e^{3/2}} = \frac{3}{2e^{3/2}}$.

Ответ: Область определения $(0; +\infty)$. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение с осью Ox в точке $(1; 0)$. Глобальный максимум в точке $(e; \frac{1}{e})$. Точка перегиба $(e^{3/2}; \frac{3}{2e^{3/2}})$. Функция возрастает на $(0; e)$, убывает на $(e; +\infty)$. На основе этих данных строится график.

6) $y = xe^{-x^2/2}$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность/нечетность: $y(-x) = (-x)e^{-(-x)^2/2} = -xe^{-x^2/2} = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат:

$y=0 \iff x=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$.

4. Асимптоты:

- Вертикальных асимптот нет.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x^2/2}}$ (неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$). По правилу Лопиталя: $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{xe^{x^2/2}} = 0$. В силу нечетности, $\lim_{x \to -\infty} y(x) = 0$. $y=0$ — горизонтальная асимптота.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума:

$y' = 1 \cdot e^{-x^2/2} + x \cdot e^{-x^2/2} \cdot (-x) = e^{-x^2/2}(1-x^2)$.

Критические точки ($y'=0$): $1-x^2=0 \implies x=1, x=-1$.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (-1; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

$x=-1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = -e^{-1/2} = -1/\sqrt{e}$.

$x=1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = e^{-1/2} = 1/\sqrt{e}$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

$y'' = (e^{-x^2/2}(1-x^2))' = -x e^{-x^2/2}(1-x^2) + e^{-x^2/2}(-2x) = e^{-x^2/2}(-x+x^3-2x) = e^{-x^2/2}(x^3-3x) = x(x^2-3)e^{-x^2/2}$.

Точки перегиба ($y''=0$): $x=0, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$.

- При $x \in (-\infty; -\sqrt{3})$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

- При $x \in (-\sqrt{3}; 0)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x \in (0; \sqrt{3})$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

- При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

Точки перегиба: $(0; 0)$, $(\sqrt{3}; \sqrt{3}e^{-3/2})$, $(-\sqrt{3}; -\sqrt{3}e^{-3/2})$.

Ответ: Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Горизонтальная асимптота $y=0$. Локальный минимум в $(-1; -1/\sqrt{e})$, локальный максимум в $(1; 1/\sqrt{e})$. Точки перегиба в $(0;0)$, $(\pm\sqrt{3}; \pm\sqrt{3}e^{-3/2})$. На основе этих данных строится график.