Номер 9.208, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.208. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = x^2 - 2x$;

2) $y = x^3$;

3) $y = \ln x$;

4) $y = \frac{x^2 - 2}{2x + 3}$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = x^2 - 2x$ найдем ее производную.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Производная функции: $y' = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$2x - 2 = 0 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=1$ делит числовую ось.

При $x < 1$ (например, $x=0$), $y'(0) = 2(0) - 2 = -2 < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 1]$ функция убывает.

При $x > 1$ (например, $x=2$), $y'(2) = 2(2) - 2 = 2 > 0$. Следовательно, на промежутке $[1, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^3$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (x^3)' = 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

Производная $y' = 3x^2 \ge 0$ для всех действительных $\text{x}$, причем равенство нулю достигается только в точке $x=0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = \ln x$.

Область определения логарифмической функции: $x > 0$, то есть $D(y) = (0, +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Уравнение $y'=0$, то есть $\frac{1}{x} = 0$, не имеет решений. Критических точек нет.

На всей области определения $x > 0$ производная $y' = \frac{1}{x}$ всегда положительна.

Следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 2}{2x + 3}$.

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю.

$2x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1.5$.

$D(y) = (-\infty, -1.5) \cup (-1.5, +\infty)$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования частного: $y' = \left(\frac{x^2 - 2}{2x + 3}\right)' = \frac{(x^2 - 2)'(2x + 3) - (x^2 - 2)(2x + 3)'}{(2x + 3)^2} = \frac{2x(2x + 3) - (x^2 - 2) \cdot 2}{(2x + 3)^2} = \frac{4x^2 + 6x - 2x^2 + 4}{(2x + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6x + 4}{(2x + 3)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Это эквивалентно равенству нулю числителя:

$2x^2 + 6x + 4 = 0$,

$x^2 + 3x + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Точка $x = -1.5$ является точкой разрыва функции. Вместе с критическими точками она разбивает числовую ось на интервалы знакопостоянства производной: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1.5)$, $(-1.5, -1)$ и $(-1, +\infty)$.

Знаменатель производной $(2x+3)^2$ положителен везде в области определения, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком числителя $2x^2 + 6x + 4 = 2(x+2)(x+1)$.

- На интервалах $(-\infty, -2)$ и $(-1, +\infty)$ числитель положителен, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(-2, -1)$ числитель отрицателен, $y' < 0$, следовательно, функция убывает. Учитывая точку разрыва, функция убывает на $(-2, -1.5)$ и $(-1.5, -1)$.

Включая концы промежутков (где функция непрерывна), получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[-1, +\infty)$; убывает на промежутках $[-2, -1.5)$ и $(-1.5, -1]$.