Номер 9.207, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.207. Найдите значения производной данной функции в указанных точках:

1) $f(x) = \frac{x}{2x-1}$, $f'(0)$, $f'(2)$, $f'(-2)$;

2) $f(x) = \ln(1+a^{2x})$, $f'(0)$;

3) $f(x) = \sqrt{1+\cos^2 x^2}$, $f'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)$;

4) $f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x}}$, $f'(1)$.

1)

Дана функция $f(x) = \frac{x}{2x-1}$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \frac{(x)'(2x-1) - x(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{1 \cdot (2x-1) - x \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x-1-2x}{(2x-1)^2} = \frac{-1}{(2x-1)^2}$.

Теперь вычислим значения производной в указанных точках:

При $x=0$: $f'(0) = \frac{-1}{(2 \cdot 0 - 1)^2} = \frac{-1}{(-1)^2} = -1$.

При $x=2$: $f'(2) = \frac{-1}{(2 \cdot 2 - 1)^2} = \frac{-1}{(4-1)^2} = \frac{-1}{3^2} = -\frac{1}{9}$.

При $x=-2$: $f'(-2) = \frac{-1}{(2 \cdot (-2) - 1)^2} = \frac{-1}{(-4-1)^2} = \frac{-1}{(-5)^2} = -\frac{1}{25}$.

Ответ: $f'(0)=-1$; $f'(2)=-\frac{1}{9}$; $f'(-2)=-\frac{1}{25}$.

2)

Для функции $f(x) = \ln(1+a^{-2x})$ найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции. Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{1}{u}$, а производная показательной функции $(a^v)' = a^v \ln a \cdot v'$.

$f'(x) = \frac{1}{1+a^{-2x}} \cdot (1+a^{-2x})' = \frac{1}{1+a^{-2x}} \cdot (a^{-2x} \ln a \cdot (-2x)') = \frac{1}{1+a^{-2x}} \cdot (a^{-2x} \ln a \cdot (-2)) = \frac{-2a^{-2x}\ln a}{1+a^{-2x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x=0$:

$f'(0) = \frac{-2a^{-2 \cdot 0}\ln a}{1+a^{-2 \cdot 0}} = \frac{-2a^{0}\ln a}{1+a^{0}}$.

Так как $a^0=1$ (для $a \neq 0$), получаем: $f'(0) = \frac{-2 \cdot 1 \cdot \ln a}{1+1} = \frac{-2\ln a}{2} = -\ln a$.

Ответ: $f'(0) = -\ln a$.

3)

Дана функция $f(x) = \sqrt{1+\cos^2(x^2)}$. Найдем ее производную, последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1+\cos^2(x^2)} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1+\cos^2(x^2)}} \cdot \frac{d}{dx} (1+\cos^2(x^2))$.

Производная внутреннего выражения: $\frac{d}{dx} (1+\cos^2(x^2)) = \frac{d}{dx}(\cos(x^2))^2 = 2\cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\cos(x^2))$.

И еще раз: $\frac{d}{dx}(\cos(x^2)) = -\sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = -2x\sin(x^2)$.

Собирая все части вместе, получаем: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+\cos^2(x^2)}} \cdot 2\cos(x^2) \cdot (-2x\sin(x^2)) = \frac{-2x\sin(x^2)\cos(x^2)}{\sqrt{1+\cos^2(x^2)}}$.

Вычислим значение производной в точке $x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$. Для этой точки $x^2 = \left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^2 = \frac{\pi}{2}$.

Подставим значение $x^2$ в производную: $f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) = \frac{-2\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sin(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{2})}{\sqrt{1+\cos^2(\frac{\pi}{2})}}$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то числитель дроби обращается в ноль: $f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) = \frac{-2\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot 1 \cdot 0}{\sqrt{1+0^2}} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) = 0$.

4)

Для функции $f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x}}$ найдем производную по правилу дифференцирования сложной функции. Запишем функцию в виде $f(x) = (x+x^{1/2})^{1/2}$.

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+x^{1/2})^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x+x^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}x^{-1/2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$.

Вычислим значение производной в точке $x=1$:

$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1+\sqrt{1}}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{1}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1+1}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4\sqrt{2}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $f'(1) = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.