Номер 9.201, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.201. 1) $y = \frac{\sin x}{x}$;

2) $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$.

1) Чтобы найти производную функции $y = \frac{\sin x}{x}$, необходимо применить правило дифференцирования частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Теперь подставим полученные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$ также воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В этом случае $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^2 + 1$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (x^2 + 1)' = 2x$

Подставим все в формулу производной частного:

$y' = \frac{(x^2)' \cdot (x^2 + 1) - x^2 \cdot (x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1) - x^2(2x)}{(x^2 + 1)^2}$.

Упростим выражение в числителе дроби:

$2x(x^2 + 1) - x^2(2x) = 2x^3 + 2x - 2x^3 = 2x$.

Следовательно, производная функции равна:

$y' = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$.