Номер 9.196, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.196. Найдите все целые решения неравенства

$ \log_{0.3} (\sqrt{x+5} - x + 1) > 0 $

Для решения логарифмического неравенства $\log_{0.3}(\sqrt{x+5}-x+1) > 0$ необходимо рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ) и основное свойство логарифмической функции.

Во-первых, ОДЗ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, откуда следует $x \ge -5$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\sqrt{x+5}-x+1 > 0$.

Во-вторых, решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{0.3}(1)$. Неравенство принимает вид: $\log_{0.3}(\sqrt{x+5}-x+1) > \log_{0.3}(1)$.

Поскольку основание логарифма $0.3$ меньше единицы ($0 < 0.3 < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $\sqrt{x+5}-x+1 < 1$.

Таким образом, для нахождения решения исходного неравенства необходимо решить систему, объединяющую условия ОДЗ и результат решения логарифмического неравенства: $ \begin{cases} x+5 \ge 0 \\ \sqrt{x+5}-x+1 > 0 \\ \sqrt{x+5}-x+1 < 1 \end{cases} $

Эту систему можно упростить, объединив два последних неравенства в одно двойное неравенство: $ \begin{cases} x \ge -5 \\ 0 < \sqrt{x+5}-x+1 < 1 \end{cases} $

Рассмотрим двойное неравенство $0 < \sqrt{x+5}-x+1 < 1$. Оно эквивалентно системе из двух неравенств: 1. $\sqrt{x+5}-x+1 < 1 \implies \sqrt{x+5} < x$ 2. $\sqrt{x+5}-x+1 > 0 \implies \sqrt{x+5} > x-1$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x+5} < x$.

Это иррациональное неравенство. Оно имеет смысл, если $x+5 \ge 0$ и $x > 0$ (так как корень не может быть меньше отрицательного числа). При $x>0$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: $x+5 < x^2$

$x^2 - x - 5 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 5 = 0$: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Решением неравенства $x^2 - x - 5 > 0$ является $x \in (-\infty, \frac{1-\sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{1+\sqrt{21}}{2}, \infty)$.

С учетом условия $x > 0$, получаем решение $x > \frac{1+\sqrt{21}}{2}$.

Решим второе неравенство: $\sqrt{x+5} > x-1$.

Рассмотрим два случая:

а) Если $x-1 < 0$, то есть $x < 1$. В этом случае правая часть отрицательна, а левая (корень) неотрицательна, поэтому неравенство выполняется для всех $\text{x}$ из ОДЗ, где $x < 1$. ОДЗ для корня $x \ge -5$. Таким образом, решение в этом случае: $x \in [-5, 1)$.

б) Если $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат: $x+5 > (x-1)^2$

$x+5 > x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x - 4 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Решением неравенства является интервал $x \in (-1, 4)$.

С учетом условия $x \ge 1$, получаем решение для этого случая: $x \in [1, 4)$.

Объединяя решения из случаев а) и б), получаем общее решение второго неравенства: $x \in [-5, 4)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $ \begin{cases} x > \frac{1+\sqrt{21}}{2} \\ -5 \le x < 4 \end{cases} $ Пересечением является интервал $x \in (\frac{1+\sqrt{21}}{2}, 4)$.

Задача требует найти все целые решения. Оценим значение $\frac{1+\sqrt{21}}{2}$.

Мы знаем, что $4 < \sqrt{21} < 5$.

Тогда $1+4 < 1+\sqrt{21} < 1+5$, что дает $5 < 1+\sqrt{21} < 6$.

Следовательно, $\frac{5}{2} < \frac{1+\sqrt{21}}{2} < \frac{6}{2}$, то есть $2.5 < \frac{1+\sqrt{21}}{2} < 3$.

Таким образом, мы ищем целые числа $\text{x}$ в интервале $(\frac{1+\sqrt{21}}{2}, 4)$. Этому условию удовлетворяет только одно целое число.

Ответ: 3