Номер 9.189, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.189. При каких значениях параметра $\text{a}$ уравнение $3 \cdot 4^{x-2} + 27 = a + a \cdot 4^{x-2}$ имеет действительные корни?

Для нахождения значений параметра $\text{a}$, при которых данное уравнение имеет действительные корни, преобразуем его. Исходное уравнение: $3 \cdot 4^{x-2} + 27 = a + a \cdot 4^{x-2}$

Перенесем все члены, содержащие $4^{x-2}$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

$3 \cdot 4^{x-2} - a \cdot 4^{x-2} = a - 27$

Вынесем общий множитель $4^{x-2}$ за скобки:

$(3 - a) \cdot 4^{x-2} = a - 27$

Дальнейшее решение зависит от значения выражения $(3 - a)$.

1. Рассмотрим случай, когда $3 - a = 0$, то есть $a = 3$. Подставив $a=3$ в уравнение, получаем:

$(3 - 3) \cdot 4^{x-2} = 3 - 27$

$0 \cdot 4^{x-2} = -24$

$0 = -24$

Это равенство неверно, следовательно, при $a=3$ уравнение не имеет действительных корней.

2. Рассмотрим случай, когда $3 - a \neq 0$, то есть $a \neq 3$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(3 - a)$:

$4^{x-2} = \frac{a - 27}{3 - a}$

Показательная функция $y = 4^t$ (где $t=x-2$) определена для любых действительных $\text{t}$ и ее область значений — все положительные числа, то есть $y > 0$. Следовательно, чтобы уравнение имело действительный корень $\text{x}$, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была строго положительной:

$\frac{a - 27}{3 - a} > 0$

Для решения этого рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

$a - 27 = 0 \implies a = 27$

$3 - a = 0 \implies a = 3$

Нанесем точки $a=3$ и $a=27$ на числовую ось. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 3)$, $(3, 27)$ и $(27, \infty)$. Определим знак дроби в каждом интервале.

Можно также преобразовать неравенство, умножив его на $-1$ и изменив знак:

$\frac{a - 27}{-(a - 3)} > 0$

$\frac{a - 27}{a - 3} < 0$

Решением этого неравенства является интервал между корнями числителя и знаменателя, то есть $a \in (3, 27)$.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение имеет действительные корни только при $a \in (3, 27)$.

Ответ: $a \in (3, 27)$.