Номер 9.182, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.182. 1) $(\lg x^3)^2 - 20 \lg \sqrt{x} + 1 = 0;$

2) $2\log_9 x + 9\log_x 3 = 10;$

3) $x^{\log_5 x - 2} = 125;$

4) $x = 10^{1 - \frac{1}{4} \lg x}.$

1) Решим уравнение $lg^2{x^3} - 20lg\sqrt{x} + 1 = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$. Используя свойства логарифмов $lg(a^b) = b \cdot lg(a)$ и $lg^2(u) = (lg(u))^2$, преобразуем уравнение. Имеем $lg^2{x^3} = (lg(x^3))^2 = (3lg{x})^2 = 9lg^2{x}$ и $lg\sqrt{x} = lg(x^{1/2}) = \frac{1}{2}lg{x}$. Подставим эти выражения в исходное уравнение: $9lg^2{x} - 20(\frac{1}{2}lg{x}) + 1 = 0$, что упрощается до $9lg^2{x} - 10lg{x} + 1 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = lg{x}$. Получаем квадратное уравнение $9t^2 - 10t + 1 = 0$. Найдем его корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64$. Корни уравнения для $\text{t}$ равны: $t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10+8}{18} = 1$ и $t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10-8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$. Теперь вернемся к исходной переменной $\text{x}$. Если $lg{x} = 1$, то $x = 10^1 = 10$. Если $lg{x} = \frac{1}{9}$, то $x = 10^{1/9}$. Оба найденных значения $\text{x}$ положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; 10^{1/9}$.

2) Решим уравнение $2log_9{x} + 9log_x{3} = 10$. ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен ($x>0$), основание логарифма должно быть положительно и не равно единице ($x>0, x \neq 1$). Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$. Приведем логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. Используем формулы перехода к новому основанию: $log_a{b} = \frac{log_c{b}}{log_c{a}}$ и $log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}log_a{b}$. Получаем: $log_9{x} = log_{3^2}{x} = \frac{1}{2}log_3{x}$ и $log_x{3} = \frac{1}{log_3{x}}$. Подставим в уравнение: $2(\frac{1}{2}log_3{x}) + 9(\frac{1}{log_3{x}}) = 10$, что равносильно $log_3{x} + \frac{9}{log_3{x}} = 10$. Сделаем замену $t = log_3{x}$. Заметим, что $x \neq 1$, поэтому $t \neq log_3{1} = 0$. Уравнение принимает вид $t + \frac{9}{t} = 10$. Умножим обе части на $\text{t}$: $t^2 + 9 = 10t$, или $t^2 - 10t + 9 = 0$. Это квадратное уравнение, корни которого легко найти по теореме Виета: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Возвращаемся к переменной $\text{x}$. Если $log_3{x} = 1$, то $x = 3^1 = 3$. Если $log_3{x} = 9$, то $x = 3^9 = 19683$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; 19683$.

3) Решим уравнение $x^{log_5{x} - 2} = 125$. ОДЗ: $x>0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5. Это возможно, так как обе части уравнения положительны. Получаем: $log_5(x^{log_5{x} - 2}) = log_5{125}$. Используя свойство логарифма степени $log_a(b^c) = c \cdot log_a(b)$, преобразуем левую часть: $(log_5{x} - 2)log_5{x} = log_5(5^3)$. Это упрощается до $(log_5{x} - 2)log_5{x} = 3$. Сделаем замену $t = log_5{x}$. Уравнение становится квадратным: $(t-2)t = 3$, то есть $t^2 - 2t - 3 = 0$. Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$. Выполним обратную замену. Если $log_5{x} = 3$, то $x = 5^3 = 125$. Если $log_5{x} = -1$, то $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $125; \frac{1}{5}$.

4) Решим уравнение $x = 10^{1-\frac{1}{4}lg{x}}$. ОДЗ: $x>0$. Так как правая часть уравнения является степенью числа 10, она всегда положительна, поэтому достаточно потребовать $x>0$ для аргумента логарифма. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм $lg$). Получим: $lg{x} = lg(10^{1-\frac{1}{4}lg{x}})$. По основному свойству логарифма $log_a(a^b)=b$, правая часть упрощается: $lg{x} = 1-\frac{1}{4}lg{x}$. Сделаем замену $t = lg{x}$. Уравнение принимает вид $t = 1 - \frac{1}{4}t$. Решим это линейное уравнение относительно $\text{t}$: $t + \frac{1}{4}t = 1$, или $\frac{5}{4}t = 1$. Отсюда $t = \frac{4}{5}$. Возвращаемся к переменной $\text{x}$: $lg{x} = \frac{4}{5}$. По определению логарифма, $x = 10^{4/5}$. Этот корень положителен, значит, он подходит.

Ответ: $10^{4/5}$.