Номер 9.180, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.180. 1) $4^{x+1.5} + 9^x = 6^{x+1};$

2) $2 \cdot 4^x + 25 \cdot 25^x = 15 \cdot 10^x.$

1) $4^{x+1.5} + 9^x = 6^{x+1}$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$4^{x+1.5} = 4^x \cdot 4^{1.5} = 4^x \cdot (2^2)^{3/2} = 4^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 4^x$

$6^{x+1} = 6^x \cdot 6^1 = 6 \cdot 6^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$8 \cdot 4^x + 9^x = 6 \cdot 6^x$

Представим основания степеней через простые множители 2 и 3:

$8 \cdot (2^2)^x + (3^2)^x = 6 \cdot (2 \cdot 3)^x$

$8 \cdot 2^{2x} + 3^{2x} = 6 \cdot 2^x \cdot 3^x$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $9^x = 3^{2x}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$8 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 6 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}}$

$8 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} + 1 = 6 \cdot (\frac{2}{3})^x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид квадратного:

$8t^2 + 1 = 6t$

$8t^2 - 6t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$.

Корни уравнения для $\text{t}$:

$t_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны. Вернемся к исходной переменной $\text{x}$.

1. Если $t = \frac{1}{4}$:

$(\frac{2}{3})^x = \frac{1}{4}$

Прологарифмировав обе части, получим: $x = \log_{2/3}(\frac{1}{4})$.

2. Если $t = \frac{1}{2}$:

$(\frac{2}{3})^x = \frac{1}{2}$

$x = \log_{2/3}(\frac{1}{2})$.

Ответ: $x_1 = \log_{2/3}(\frac{1}{2})$, $x_2 = \log_{2/3}(\frac{1}{4})$.

2) $2 \cdot 4^x + 25 \cdot 25^x = 15 \cdot 10^x$

Перенесем все члены в левую часть и представим основания степеней через простые множители 2 и 5:

$2 \cdot (2^2)^x - 15 \cdot (2 \cdot 5)^x + 25 \cdot (5^2)^x = 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 15 \cdot 2^x \cdot 5^x + 25 \cdot (5^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $(5^x)^2 = 25^x$ (это выражение всегда положительно):

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 15 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} + 25 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$2 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} - 15 \cdot (\frac{2}{5})^x + 25 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$, где $t > 0$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 - 15t + 25 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 225 - 200 = 25$.

Корни уравнения для $\text{t}$:

$t_1 = \frac{15 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$t_2 = \frac{15 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену.

1. Если $t = \frac{5}{2}$:

$(\frac{2}{5})^x = \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^{-1}$

Отсюда следует, что $x = -1$.

2. Если $t = 5$:

$(\frac{2}{5})^x = 5$

Прологарифмировав обе части по основанию $\frac{2}{5}$, получим: $x = \log_{2/5}5$.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = \log_{2/5}5$.