Номер 9.179, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.179. 1) $ \lg^2(8x - 9) = \lg^2(6x - 4) $;

2) $ \log_2 \frac{x-2}{x-1} - 1 = \log_2 \frac{3x-7}{3x-1} $.

1) $\lg^2(8x - 9) = \lg^2(6x - 4)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 8x - 9 > 0 \\ 6x - 4 > 0 \end{cases} $ $ \implies \begin{cases} 8x > 9 \\ 6x > 4 \end{cases} $ $ \implies \begin{cases} x > \frac{9}{8} \\ x > \frac{4}{6} \end{cases} $ $ \implies \begin{cases} x > \frac{9}{8} \\ x > \frac{2}{3} \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{9}{8}$.

Исходное уравнение имеет вид $a^2 = b^2$, что равносильно $a = b$ или $a = -b$.

Случай 1: $\lg(8x - 9) = \lg(6x - 4)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$8x - 9 = 6x - 4$

$8x - 6x = 9 - 4$

$2x = 5$

$x = 2.5$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $2.5 = \frac{5}{2} = \frac{20}{8}$. Так как $\frac{20}{8} > \frac{9}{8}$, корень $x = 2.5$ подходит.

Случай 2: $\lg(8x - 9) = -\lg(6x - 4)$

Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, преобразуем правую часть:

$\lg(8x - 9) = \lg((6x - 4)^{-1})$

$\lg(8x - 9) = \lg\left(\frac{1}{6x - 4}\right)$

Приравниваем аргументы:

$8x - 9 = \frac{1}{6x - 4}$

$(8x - 9)(6x - 4) = 1$

$48x^2 - 32x - 54x + 36 = 1$

$48x^2 - 86x + 35 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-86)^2 - 4 \cdot 48 \cdot 35 = 7396 - 6720 = 676 = 26^2$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{86 + 26}{2 \cdot 48} = \frac{112}{96} = \frac{7 \cdot 16}{6 \cdot 16} = \frac{7}{6}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{86 - 26}{2 \cdot 48} = \frac{60}{96} = \frac{5 \cdot 12}{8 \cdot 12} = \frac{5}{8}$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > \frac{9}{8}$).

Для $x_1 = \frac{7}{6}$: сравним $\frac{7}{6}$ и $\frac{9}{8}$. Приведем к общему знаменателю 24: $\frac{28}{24} > \frac{27}{24}$. Значит, $x_1 = \frac{7}{6}$ удовлетворяет ОДЗ.

Для $x_2 = \frac{5}{8}$: $\frac{5}{8} < \frac{9}{8}$. Значит, $x_2 = \frac{5}{8}$ не является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{7}{6}, x_2 = 2.5$.

2) $\log_2 \frac{x-2}{x-1} - 1 = \log_2 \frac{3x-7}{3x-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} \frac{x-2}{x-1} > 0 \\ \frac{3x-7}{3x-1} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство методом интервалов.

Для первого неравенства нули числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=1$. Оно выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

Для второго неравенства нули числителя и знаменателя: $x=\frac{7}{3}$ и $x=\frac{1}{3}$. Оно выполняется при $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{7}{3}, +\infty)$.

Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{7}{3}, +\infty)$.

Теперь решим уравнение. Перенесем логарифмы в одну часть, а число в другую:

$\log_2 \frac{x-2}{x-1} - \log_2 \frac{3x-7}{3x-1} = 1$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_2 \left( \frac{x-2}{x-1} \div \frac{3x-7}{3x-1} \right) = 1$

$\log_2 \left( \frac{x-2}{x-1} \cdot \frac{3x-1}{3x-7} \right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{(x-2)(3x-1)}{(x-1)(3x-7)} = 2^1$

$\frac{3x^2 - x - 6x + 2}{3x^2 - 7x - 3x + 7} = 2$

$\frac{3x^2 - 7x + 2}{3x^2 - 10x + 7} = 2$

При условии, что знаменатель не равен нулю (что выполняется в ОДЗ), умножим обе части на него:

$3x^2 - 7x + 2 = 2(3x^2 - 10x + 7)$

$3x^2 - 7x + 2 = 6x^2 - 20x + 14$

$6x^2 - 3x^2 - 20x + 7x + 14 - 2 = 0$

$3x^2 - 13x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 = 5^2$

Находим корни:

$x_1 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{13 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{7}{3}, +\infty)$.

Корень $x_1 = 3$. Так как $3 > \frac{7}{3}$ (поскольку $3 = \frac{9}{3}$), этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = \frac{4}{3}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{4}{3} < \frac{7}{3}$, этот корень не входит в ОДЗ и является посторонним.

Ответ: $x=3$.