Номер 9.174, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.171-9.176 упростите выражения.

9.174. Докажите тождество $\log_{abc} x = \frac{1}{\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x} + \frac{1}{\log_c x}}$

9.174. Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Начнем с преобразования знаменателя дроби в правой части.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $. Применим ее к каждому слагаемому в знаменателе:

$ \frac{1}{\log_a x} = \log_x a $

$ \frac{1}{\log_b x} = \log_x b $

$ \frac{1}{\log_c x} = \log_x c $

Таким образом, знаменатель правой части можно записать в виде суммы логарифмов с одинаковым основанием $\text{x}$:

$ \frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x} + \frac{1}{\log_c x} = \log_x a + \log_x b + \log_x c $

Далее используем свойство суммы логарифмов (логарифм произведения), $ \log_k m + \log_k n = \log_k (mn) $. Свернем эту сумму в один логарифм:

$ \log_x a + \log_x b + \log_x c = \log_x (abc) $

Теперь подставим полученное выражение для знаменателя обратно в правую часть исходного тождества:

$ \frac{1}{\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x} + \frac{1}{\log_c x}} = \frac{1}{\log_x (abc)} $

Вновь применим формулу $ \frac{1}{\log_a b} = \log_b a $ к полученному выражению:

$ \frac{1}{\log_x (abc)} = \log_{abc} x $

В результате преобразований мы получили, что правая часть тождества равна его левой части:

$ \log_{abc} x = \log_{abc} x $

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.