Номер 9.167, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.167. Вычислите:

1) $\log_6 \sqrt{\frac{1}{6}}$;

2) $\log_{a^2} \sqrt[7]{a}$;

3) $\log_{\sqrt{c}} \sqrt[6]{c^5}$;

4) $5^{1+\log_5 4}$.

1) Для вычисления $ \log_{6} \sqrt{\frac{1}{6}} $ преобразуем выражение под знаком логарифма.

Сначала представим корень и дробь в виде степени с основанием 6:

$ \sqrt{\frac{1}{6}} = (\frac{1}{6})^{\frac{1}{2}} = (6^{-1})^{\frac{1}{2}} = 6^{-\frac{1}{2}} $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в логарифм:

$ \log_{6} 6^{-\frac{1}{2}} $.

Используя свойство логарифма $ \log_{a} a^x = x $, получаем:

$ \log_{6} 6^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

2) Для вычисления $ \log_{a^2} \sqrt[7]{a} $ представим основание и аргумент логарифма как степени переменной $ a $.

Основание логарифма: $ a^2 $.

Аргумент логарифма: $ \sqrt[7]{a} = a^{\frac{1}{7}} $.

Таким образом, выражение принимает вид $ \log_{a^2} a^{\frac{1}{7}} $.

Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{a^2} a^{\frac{1}{7}} = \frac{1/7}{2} \log_a a $.

Так как $ \log_a a = 1 $, то:

$ \frac{1/7}{2} = \frac{1}{7 \cdot 2} = \frac{1}{14} $.

Ответ: $ \frac{1}{14} $.

3) Для вычисления $ \log_{\sqrt{c}} \sqrt[6]{c^5} $ представим основание и аргумент логарифма как степени переменной $ c $.

Основание логарифма: $ \sqrt{c} = c^{\frac{1}{2}} $.

Аргумент логарифма: $ \sqrt[6]{c^5} = c^{\frac{5}{6}} $.

Исходное выражение становится $ \log_{c^{\frac{1}{2}}} c^{\frac{5}{6}} $.

Применим свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{c^{\frac{1}{2}}} c^{\frac{5}{6}} = \frac{5/6}{1/2} \log_c c $.

Поскольку $ \log_c c = 1 $, то:

$ \frac{5/6}{1/2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $.

Ответ: $ \frac{5}{3} $.

4) Для вычисления $ 5^{1+\log_{5} 4} $ воспользуемся свойством степеней $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $.

$ 5^{1+\log_{5} 4} = 5^1 \cdot 5^{\log_{5} 4} $.

Теперь используем основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $:

$ 5^{\log_{5} 4} = 4 $.

Подставим это значение в наше выражение:

$ 5^1 \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20 $.

Ответ: $ 20 $.