Номер 9.170, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.170. Известно, что $log_6 2 = m$. Найдите $log_{24} 72$.

9.170. Для того чтобы выразить $log_{24}72$ через $m = log_6 2$, перейдем к основанию логарифма 6. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$:

$log_{24}72 = \frac{log_6 72}{log_6 24}$

Чтобы выразить числитель и знаменатель через $\text{m}$, нам также понадобится значение $log_6 3$. Найдем его, используя свойство $log_6 6 = 1$:

$log_6 6 = log_6(2 \cdot 3) = log_6 2 + log_6 3$

Подставим известное значение $log_6 2 = m$:

$1 = m + log_6 3$

Отсюда получаем, что $log_6 3 = 1 - m$.

Теперь выразим числитель $log_6 72$. Разложим число 72 на множители $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ и воспользуемся свойствами логарифмов:

$log_6 72 = log_6(2^3 \cdot 3^2) = log_6(2^3) + log_6(3^2) = 3 \cdot log_6 2 + 2 \cdot log_6 3$

Подставим $log_6 2 = m$ и $log_6 3 = 1 - m$:

$log_6 72 = 3m + 2(1 - m) = 3m + 2 - 2m = m + 2$.

Аналогично поступим со знаменателем $log_6 24$. Разложим число 24 на множители $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$:

$log_6 24 = log_6(2^3 \cdot 3) = log_6(2^3) + log_6 3 = 3 \cdot log_6 2 + log_6 3$

Подставим $log_6 2 = m$ и $log_6 3 = 1 - m$:

$log_6 24 = 3m + (1 - m) = 2m + 1$.

Наконец, подставим найденные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$log_{24}72 = \frac{log_6 72}{log_6 24} = \frac{m + 2}{2m + 1}$.

Ответ: $\frac{m + 2}{2m + 1}$.