Номер 9.165, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.165. Возрастают или убывают функции:

1) $y = \left(\frac{3}{\pi}\right)^x$;

2) $y = \left(\frac{\pi}{3}\right)^x$;

3) $y = \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)^x$;

4) $y = \left(\frac{2}{3 - 2\sqrt{2}}\right)^x$?

Для определения, возрастает или убывает показательная функция вида $y = a^x$, необходимо сравнить ее основание $\text{a}$ с единицей. Если $a > 1$, функция возрастает. Если $0 < a < 1$, функция убывает.

1) $y = (\frac{3}{\pi})^x$

Основание степени $a = \frac{3}{\pi}$. Поскольку число $\pi$ приблизительно равно $3.14159...$, то $\pi > 3$. Следовательно, основание $a = \frac{3}{\pi}$ является правильной дробью, то есть $0 < a < 1$. Так как основание находится в интервале $(0; 1)$, функция является убывающей.

Ответ: убывает.

2) $y = (\frac{\pi}{3})^x$

Основание степени $a = \frac{\pi}{3}$. Так как $\pi \approx 3.14159...$, то $\pi > 3$. Следовательно, основание $a = \frac{\pi}{3}$ больше единицы, то есть $a > 1$. Так как основание больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастает.

3) $y = (\frac{3}{2} - \sqrt{2})^x$

Основание степени $a = \frac{3}{2} - \sqrt{2}$. Оценим значение основания. Сравним числа $\frac{3}{2}$ и $\sqrt{2}$. Для этого возведем их в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Поскольку $2.25 > 2$, то $\frac{3}{2} > \sqrt{2}$, а значит $a = \frac{3}{2} - \sqrt{2} > 0$. Теперь сравним $\text{a}$ с единицей. Проверим неравенство $\frac{3}{2} - \sqrt{2} < 1$, которое равносильно неравенству $\frac{1}{2} < \sqrt{2}$. Возведя в квадрат обе положительные части, получим $\frac{1}{4} < 2$, что является верным неравенством. Таким образом, основание $\text{a}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: убывает.

4) $y = (\frac{2}{3-2\sqrt{2}})^x$

Основание степени $a = \frac{2}{3-2\sqrt{2}}$. Сначала оценим знаменатель $3-2\sqrt{2}$. Сравним 3 и $2\sqrt{2}$ путем возведения в квадрат: $3^2 = 9$ и $(2\sqrt{2})^2 = 8$. Так как $9 > 8$, то $3 > 2\sqrt{2}$, и знаменатель $3-2\sqrt{2}$ положителен. Теперь преобразуем выражение для основания, избавившись от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $3+2\sqrt{2}$: $a = \frac{2(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{2(3+2\sqrt{2})}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{2(3+2\sqrt{2})}{9-8} = 6+4\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $6+4\sqrt{2} > 6$, и, следовательно, $a > 1$. Поскольку основание $\text{a}$ больше 1, функция является возрастающей.

Ответ: возрастает.