Номер 9.158, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.158-9.163 упростите выражения.

9.158. 1) $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2}$;

2) $\frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}}$;

3) $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$.

1)

Исходное выражение: $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2}$.

Сначала преобразуем числитель, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $xy$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{x+y}{xy}}{(x+y)^2}$.

Это многоэтажная дробь, которую можно записать как деление:

$\frac{x+y}{xy} \div (x+y)^2 = \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{(x+y)^2}$.

Сократим общий множитель $(x+y)$:

$\frac{1}{xy(x+y)}$.

Ответ: $\frac{1}{xy(x+y)}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}}$.

Используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для преобразования числителя и знаменателя.

Числитель: $ab^{-1} - a^{-1}b = a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b = \frac{a}{b} - \frac{b}{a}$.

Приведем к общему знаменателю $ab$: $\frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$.

Знаменатель: $a^{-1} - b^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$.

Приведем к общему знаменателю $ab$: $\frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab}$.

Подставим преобразованные части обратно в дробь:

$\frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b - a}{ab}}$.

Разделим числитель на знаменатель, перевернув делитель:

$\frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b - a}$.

Сократим $ab$:

$\frac{a^2 - b^2}{b - a}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(a-b)(a+b)}{b - a}$.

Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в знаменатель:

$\frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)}$.

Сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{a+b}{-1} = -(a+b)$.

Ответ: $-(a+b)$.

3)

Исходное выражение: $\frac{a^5 + a^6 + a^7}{a^{-5} + a^{-6} + a^{-7}}$.

Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем $a^5$:

$a^5 + a^6 + a^7 = a^5(1 + a + a^2)$.

В знаменателе вынесем $a^{-7}$:

$a^{-5} + a^{-6} + a^{-7} = a^{-7}(a^2 + a + 1)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{a^5(1 + a + a^2)}{a^{-7}(1 + a + a^2)}$.

Сократим общий множитель $(1 + a + a^2)$:

$\frac{a^5}{a^{-7}}$.

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$a^{5 - (-7)} = a^{5+7} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$.