Номер 9.156, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.156. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin(1 + \text{tg}^2\pi x)$;

2) $y = \sqrt{\text{tg}x - \sin x}$.

1) Область определения функции $y = \arcsin(1 + \tg^2(\pi x))$ находится из условий, накладываемых на входящие в нее функции.

Во-первых, аргумент функции арксинус, $u = 1 + \tg^2(\pi x)$, должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Это дает двойное неравенство:

$-1 \le 1 + \tg^2(\pi x) \le 1$

Разобьем это неравенство на систему из двух:

$ \begin{cases} 1 + \tg^2(\pi x) \ge -1 \\ 1 + \tg^2(\pi x) \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$1 + \tg^2(\pi x) \ge -1 \implies \tg^2(\pi x) \ge -2$

Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($\tg^2(\pi x) \ge 0$), это неравенство выполняется для всех $\text{x}$, при которых тангенс определен.

Решим второе неравенство системы:

$1 + \tg^2(\pi x) \le 1 \implies \tg^2(\pi x) \le 0$

Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, единственное возможное решение — это когда выражение равно нулю:

$\tg^2(\pi x) = 0 \implies \tg(\pi x) = 0$

Функция тангенс равна нулю, когда ее аргумент равен $k\pi$, где $\text{k}$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$):

$\pi x = k\pi \implies x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Во-вторых, необходимо учесть область определения самого тангенса. Функция $\tg(\pi x)$ определена, если ее аргумент $\pi x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$ для любого целого $\text{n}$.

$\pi x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{1}{2} + n$

Найденные нами решения $x = k$ являются целыми числами, а значения, где тангенс не определен, — полуцелыми. Эти множества не пересекаются, поэтому для всех целых $\text{x}$ тангенс определен.

Таким образом, область определения исходной функции состоит только из целых чисел.

Ответ: $x \in \mathbb{Z}$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{\tg x - \sin x}$ находится из следующих условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$\tg x - \sin x \ge 0$

2. Функция тангенс должна быть определена, что требует $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $\tg x - \sin x \ge 0$. Преобразуем его, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \ge 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x \left( \frac{1}{\cos x} - 1 \right) \ge 0$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin x \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right) \ge 0$

$\frac{\sin x (1 - \cos x)}{\cos x} \ge 0$

Проанализируем множители. Выражение $1 - \cos x$ всегда неотрицательно, так как $-1 \le \cos x \le 1$. Оно равно нулю при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi n$ ($n \in \mathbb{Z}$). В этих точках неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$, поэтому они входят в область определения.

Если $x \neq 2\pi n$, то $1 - \cos x > 0$. В этом случае знак дроби совпадает со знаком выражения $\frac{\sin x}{\cos x}$, то есть $\tg x$. Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$\tg x \ge 0$

Функция тангенс неотрицательна в первой и третьей четвертях. С учетом периодичности, это соответствует промежуткам:

$k\pi \le x < k\pi + \frac{\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Этот результат включает в себя и точки $x=2\pi n$ (когда $k=2n$), и удовлетворяет условию $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Следовательно, это и есть искомая область определения.

Ответ: $x \in [k\pi; k\pi + \frac{\pi}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.