Номер 9.150, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.150. Решите уравнение для всех действительных значений параметра $\text{a}$: $2\arccos x = a + \frac{a^2}{\arccos x}$.

Обозначим $y = \arccos{x}$. Область значений функции арккосинус: $y \in [0, \pi]$. Так как в уравнении присутствует деление на $\arccos{x}$, необходимо учесть ограничение $\arccos{x} \ne 0$, что означает $x \ne \cos(0)$, то есть $x \ne 1$. Таким образом, для переменной $\text{y}$ имеем строгое ограничение: $y \in (0, \pi]$.

Сделаем замену в исходном уравнении: $2y = a + \frac{a^2}{y}$

Умножим обе части уравнения на $\text{y}$, так как $y \ne 0$: $2y^2 = ay + a^2$

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $\text{y}$: $2y^2 - ay - a^2 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения. Вычислим дискриминант $\text{D}$: $D = (-a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-a^2) = a^2 + 8a^2 = 9a^2$

Корни для $\text{y}$: $y = \frac{-(-a) \pm \sqrt{9a^2}}{2 \cdot 2} = \frac{a \pm 3|a|}{4}$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

1. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Корни уравнения: $y_1 = \frac{a + 3a}{4} = \frac{4a}{4} = a$ $y_2 = \frac{a - 3a}{4} = \frac{-2a}{4} = -\frac{a}{2}$

2. Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Корни уравнения: $y_1 = \frac{a - 3a}{4} = \frac{-2a}{4} = -\frac{a}{2}$ $y_2 = \frac{a + 3a}{4} = \frac{4a}{4} = a$

В обоих случаях корни уравнения для $\text{y}$ — это $\text{a}$ и $-\frac{a}{2}$.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $\text{a}$ хотя бы один из этих корней попадает в допустимый интервал $y \in (0, \pi]$.

Случай 1: Корень $y = a$

Этот корень является решением, если $a \in (0, \pi]$. Если $a \in (0, \pi]$, то второй корень $y = -a/2$ будет отрицательным и, следовательно, не входит в интервал $(0, \pi]$. Таким образом, при $a \in (0, \pi]$ существует единственное решение для $\text{y}$: $y=a$. Возвращаясь к переменной $\text{x}$, получаем: $\arccos{x} = a$, откуда $x = \cos(a)$.

Случай 2: Корень $y = -a/2$

Этот корень является решением, если $0 < -a/2 \le \pi$. Решим это двойное неравенство: $0 < -a/2 \implies -a > 0 \implies a < 0$. $-a/2 \le \pi \implies -a \le 2\pi \implies a \ge -2\pi$. Объединяя условия, получаем $a \in [-2\pi, 0)$. Если $a \in [-2\pi, 0)$, то второй корень $y = a$ будет отрицательным и не входит в интервал $(0, \pi]$. Таким образом, при $a \in [-2\pi, 0)$ существует единственное решение для $\text{y}$: $y = -a/2$. Возвращаясь к переменной $\text{x}$, получаем: $\arccos{x} = -a/2$, откуда $x = \cos(-a/2) = \cos(a/2)$.

При $a=0$ оба корня $y=a$ и $y=-a/2$ равны нулю, что не удовлетворяет условию $y \in (0, \pi]$. При $a < -2\pi$ или $a > \pi$ оба корня лежат вне интервала $(0, \pi]$, следовательно, решений нет.

Ответ: если $a \in [-2\pi, 0)$, то $x = \cos(a/2)$; если $a \in (0, \pi]$, то $x = \cos(a)$; при других значениях $\text{a}$ решений нет.