Номер 9.151, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.151-9.154 решите неравенства.

9.151. 1) $ \sin 2x < \frac{1}{2} $;

2) $ \cos \frac{x}{3} > \frac{\sqrt{3}}{2} $.

1) Решим неравенство $\sin(2x) < \frac{1}{2}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Тогда неравенство принимает вид $\sin(t) < \frac{1}{2}$.

Найдем на тригонометрической окружности точки, для которых $\sin(t) = \frac{1}{2}$. Этим значениям соответствуют углы $t_1 = \frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Неравенство $\sin(t) < \frac{1}{2}$ выполняется для тех углов $\text{t}$, ордината которых на единичной окружности меньше $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге окружности, которая начинается от точки $\frac{5\pi}{6}$ и, если двигаться против часовой стрелки, заканчивается в точке $\frac{\pi}{6}$ на следующем обороте. С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), общее решение для $\text{t}$ можно записать в виде двойного неравенства: $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, что равносильно $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$. Эту же совокупность интервалов можно записать в более компактной форме: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = 2x$: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Чтобы найти $\text{x}$, разделим все части неравенства на 2: $ \frac{1}{2}(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi k) < x < \frac{1}{2}(\frac{\pi}{6} + 2\pi k) $, $ -\frac{7\pi}{12} + \pi k < x < \frac{\pi}{12} + \pi k $.

Ответ: $x \in (-\frac{7\pi}{12} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\cos(\frac{x}{3}) > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = \frac{x}{3}$. Неравенство примет вид $\cos(u) > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем на тригонометрической окружности точки, для которых $\cos(u) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим значениям соответствуют углы $u_1 = \frac{\pi}{6}$ и $u_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Неравенство $\cos(u) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для тех углов $\text{u}$, абсцисса которых на единичной окружности больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, заключенной между углами $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$.

С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$), общее решение для $\text{u}$ записывается в виде двойного неравенства: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < u < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $u = \frac{x}{3}$: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Чтобы найти $\text{x}$, умножим все части неравенства на 3: $ 3(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k) < x < 3(\frac{\pi}{6} + 2\pi k) $, $ -\frac{3\pi}{6} + 6\pi k < x < \frac{3\pi}{6} + 6\pi k $, $ -\frac{\pi}{2} + 6\pi k < x < \frac{\pi}{2} + 6\pi k $.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 6\pi k; \frac{\pi}{2} + 6\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.