Номер 9.144, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.144. Решите уравнение для всех действительных значений параметра $\text{a}$:

$\sin^6x + \cos^6x = a(\sin^4x + \cos^4x)$.

Для решения уравнения преобразуем его левую и правую части, используя известные тригонометрические тождества.

Сначала преобразуем выражение $sin^4(x) + cos^4(x)$. Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, получим: $sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))^2 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 1 - 2sin^2(x)cos^2(x)$. Применив формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$, можно записать $sin^2(x)cos^2(x) = \frac{1}{4}sin^2(2x)$. Таким образом, $sin^4(x) + cos^4(x) = 1 - 2(\frac{1}{4}sin^2(2x)) = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)$.

Теперь преобразуем выражение $sin^6(x) + cos^6(x)$, используя формулу суммы кубов $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$: $sin^6(x) + cos^6(x) = (sin^2(x))^3 + (cos^2(x))^3 = (sin^2(x) + cos^2(x))(sin^4(x) - sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x))$. Так как $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, получаем: $sin^6(x) + cos^6(x) = sin^4(x) + cos^4(x) - sin^2(x)cos^2(x)$. Подставляя уже найденные выражения, имеем: $sin^6(x) + cos^6(x) = (1 - \frac{1}{2}sin^2(2x)) - \frac{1}{4}sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}sin^2(2x)$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $1 - \frac{3}{4}sin^2(2x) = a(1 - \frac{1}{2}sin^2(2x))$.

Сделаем замену $y = sin^2(2x)$. Поскольку $sin(2x)$ принимает значения от $-1$ до $\text{1}$, переменная $\text{y}$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Уравнение примет вид: $1 - \frac{3}{4}y = a(1 - \frac{1}{2}y)$.

Выразим $\text{y}$ через параметр $\text{a}$: $1 - \frac{3}{4}y = a - \frac{a}{2}y$ $\frac{a}{2}y - \frac{3}{4}y = a - 1$ $y(\frac{2a - 3}{4}) = a - 1$. Если $a = \frac{3}{2}$, уравнение становится $0 \cdot y = \frac{1}{2}$, что не имеет решений. Если $a \neq \frac{3}{2}$, то $y = \frac{4(a - 1)}{2a - 3}$.

Для того чтобы уравнение имело решения для $\text{x}$, необходимо, чтобы значение $\text{y}$ принадлежало отрезку $[0, 1]$. Таким образом, мы должны найти значения $\text{a}$, для которых выполняется двойное неравенство: $0 \le \frac{4(a - 1)}{2a - 3} \le 1$.

Решим эту систему неравенств методом интервалов. 1) $\frac{a - 1}{2a - 3} \ge 0$. Это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 1] \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$. 2) $\frac{4(a - 1)}{2a - 3} - 1 \le 0 \implies \frac{4a - 4 - (2a - 3)}{2a - 3} \le 0 \implies \frac{2a - 1}{2a - 3} \le 0$. Это неравенство выполняется при $a \in [\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$. Пересечением решений этих двух неравенств является отрезок $a \in [\frac{1}{2}, 1]$.

Следовательно, исходное уравнение имеет решения только при $a \in [\frac{1}{2}, 1]$. Теперь найдем эти решения.

1. Если $a = \frac{1}{2}$, то $y = \frac{4(\frac{1}{2} - 1)}{2(\frac{1}{2}) - 3} = \frac{-2}{-2} = 1$. Уравнение $sin^2(2x) = 1$ означает, что $cos^2(2x) = 0$, то есть $cos(2x) = 0$. $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $a = 1$, то $y = \frac{4(1 - 1)}{2(1) - 3} = 0$. Уравнение $sin^2(2x) = 0$ означает, что $sin(2x) = 0$. $2x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3. Если $a \in (\frac{1}{2}, 1)$, то $0 < y < 1$. $sin^2(2x) = \frac{4(a-1)}{2a-3}$. Чтобы аргумент под корнем был положительным, перепишем дробь как $\frac{4(1-a)}{3-2a}$. $sin(2x) = \pm\sqrt{\frac{4(1-a)}{3-2a}}$. Решения для $2x$ можно записать в виде $2x = \pi k \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{4(1-a)}{3-2a}}\right), k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi k}{2} \pm \frac{1}{2}\arcsin\left(\sqrt{\frac{4(1-a)}{3-2a}}\right), k \in \mathbb{Z}$.

4. Если $a \notin [\frac{1}{2}, 1]$, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ:

• при $a \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)$ решений нет;
• при $a = \frac{1}{2}$ решения $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$;
• при $a = 1$ решения $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$;
• при $a \in (\frac{1}{2}, 1)$ решения $x = \frac{\pi k}{2} \pm \frac{1}{2}\arcsin\left(2\sqrt{\frac{1-a}{3-2a}}\right), k \in \mathbb{Z}$.