Номер 9.141, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.141. 1) $ \sin x - \sqrt{7} \cos x = \sqrt{7} $;

2) $ \sqrt{3} \sin x - \sqrt{5} \cos x = \sqrt{3} $.

1)

Дано уравнение $ \sin x - \sqrt{7} \cos x = \sqrt{7} $.

Это тригонометрическое уравнение вида $ a \sin x + b \cos x = c $. Решим его с помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Сначала проверим, являются ли решениями уравнения значения $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. При таких $ x $ имеем $ \sin x = 0 $ и $ \cos x = -1 $.

Подставим эти значения в уравнение: $ 0 - \sqrt{7}(-1) = \sqrt{7} $, что дает $ \sqrt{7} = \sqrt{7} $. Это верное равенство.

Следовательно, $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ является одной из серий решений.

Для всех остальных $ x $, где $ x \neq \pi + 2\pi k $, можно использовать подстановку $ t = \tan(x/2) $. Тогда $ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} $ и $ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} $.

Подставляем в исходное уравнение:

$ \frac{2t}{1+t^2} - \sqrt{7} \frac{1-t^2}{1+t^2} = \sqrt{7} $

Умножим обе части на $ 1+t^2 \neq 0 $:

$ 2t - \sqrt{7}(1-t^2) = \sqrt{7}(1+t^2) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 2t - \sqrt{7} + \sqrt{7}t^2 = \sqrt{7} + \sqrt{7}t^2 $

Приведем подобные члены:

$ 2t = 2\sqrt{7} $

$ t = \sqrt{7} $

Теперь выполним обратную подстановку:

$ \tan(x/2) = \sqrt{7} $

Отсюда находим $ x/2 $:

$ x/2 = \arctan(\sqrt{7}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

И находим $ x $:

$ x = 2\arctan(\sqrt{7}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

Объединяя обе серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\arctan(\sqrt{7}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $ \sqrt{3} \sin x - \sqrt{5} \cos x = \sqrt{3} $.

Как и в предыдущем пункте, используем универсальную тригонометрическую подстановку.

Проверим значения $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. При этих значениях $ \sin x = 0 $ и $ \cos x = -1 $.

Подставляем в уравнение: $ \sqrt{3}(0) - \sqrt{5}(-1) = \sqrt{3} $, что дает $ \sqrt{5} = \sqrt{3} $. Это неверное равенство.

Следовательно, $ x = \pi + 2\pi k $ не является решением. Мы можем безопасно использовать подстановку $ t = \tan(x/2) $ для всех $ x $.

Подставляем $ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} $ и $ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} $:

$ \sqrt{3} \frac{2t}{1+t^2} - \sqrt{5} \frac{1-t^2}{1+t^2} = \sqrt{3} $

Умножим обе части на $ 1+t^2 $:

$ 2\sqrt{3}t - \sqrt{5}(1-t^2) = \sqrt{3}(1+t^2) $

Раскроем скобки и сгруппируем члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ t $:

$ 2\sqrt{3}t - \sqrt{5} + \sqrt{5}t^2 = \sqrt{3} + \sqrt{3}t^2 $

$ (\sqrt{5} - \sqrt{3})t^2 + 2\sqrt{3}t - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $ D = B^2 - 4AC $:

$ D = (2\sqrt{3})^2 - 4(\sqrt{5}-\sqrt{3})(-(\sqrt{5}+\sqrt{3})) = 12 + 4((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2) = 12 + 4(5-3) = 12 + 8 = 20 $

Корни уравнения для $ t $:

$ t = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{20}}{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 2\sqrt{5}}{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ t_1 = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = 1 $.

Тогда $ \tan(x/2) = 1 $.

$ x/2 = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Случай 2: $ t_2 = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $ (\sqrt{5}+\sqrt{3}) $:

$ t_2 = -\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = -\frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{5-3} = -\frac{8+2\sqrt{15}}{2} = -(4+\sqrt{15}) $.

Тогда $ \tan(x/2) = -(4+\sqrt{15}) $.

$ x/2 = \arctan(-(4+\sqrt{15})) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Используя свойство $ \arctan(-y) = -\arctan(y) $, получаем:

$ x/2 = -\arctan(4+\sqrt{15}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = -2\arctan(4+\sqrt{15}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

Объединяя обе серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -2\arctan(4+\sqrt{15}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.