Номер 9.139, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.139. 1) $\sin x + \cot \frac{x}{2} = 2;$

2) $3\sin 4x = (\cos 2x - 1)\tan x.$

1) $\sin x + \operatorname{ctg}\frac{x}{2} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенс $\operatorname{ctg}\frac{x}{2}$ определена, если ее аргумент не является кратным $\pi$.

$\frac{x}{2} \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x \neq 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Это условие равносильно тому, что $\sin\frac{x}{2} \neq 0$.

Для решения уравнения воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Пусть $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Тогда:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\operatorname{ctg}\frac{x}{2} = \frac{1}{\operatorname{tg}\frac{x}{2}} = \frac{1}{t}$

Из ОДЗ следует, что $t \neq 0$.

Подставим выражения в исходное уравнение:

$\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1}{t} = 2$

Приведем к общему знаменателю $t(1+t^2)$:

$\frac{2t \cdot t + 1 \cdot (1+t^2)}{t(1+t^2)} = 2$

$2t^2 + 1 + t^2 = 2t(1+t^2)$

$3t^2 + 1 = 2t + 2t^3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2t^3 - 3t^2 + 2t - 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-1), то есть $\pm 1$.

Проверим $t=1$: $2(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 2 - 3 + 2 - 1 = 0$.

Так как $t=1$ является корнем, мы можем разделить многочлен на $(t-1)$:

$(2t^3 - 3t^2 + 2t - 1) : (t-1) = 2t^2 - t + 1$

Уравнение принимает вид:

$(t-1)(2t^2 - t + 1) = 0$

Отсюда получаем два случая:

1) $t-1=0 \implies t=1$

2) $2t^2 - t + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным действительным решением является $t=1$.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Полученные решения не противоречат ОДЗ ($x \neq 2\pi k$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin4x = (\cos2x - 1)\operatorname{tg}x$

ОДЗ: функция тангенс $\operatorname{tg}x$ определена, если $\cos x \neq 0$.

$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрические формулы для преобразования уравнения:

$\sin4x = 2\sin2x\cos2x = 2(2\sin x \cos x)\cos2x = 4\sin x \cos x \cos2x$

$\cos2x - 1 = -2\sin^2x$

$\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Подставим в уравнение:

$3(4\sin x \cos x \cos2x) = (-2\sin^2x)\frac{\sin x}{\cos x}$

$12\sin x \cos x \cos2x = -\frac{2\sin^3x}{\cos x}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю (так как $\cos x \neq 0$, можно умножить на него):

$12\sin x \cos^2x \cos2x + 2\sin^3x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (6\cos^2x \cos2x + \sin^2x) = 0$

Уравнение распадается на два случая:

Случай 1: $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0$

$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$.

Случай 2: $6\cos^2x \cos2x + \sin^2x = 0$

Преобразуем выражение, используя формулы понижения степени и двойного угла: $\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$, $\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$.

$6\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right)\cos2x + \frac{1-\cos2x}{2} = 0$

Умножим все уравнение на 2:

$6(1+\cos2x)\cos2x + 1-\cos2x = 0$

Сделаем замену $y = \cos2x$:

$6(1+y)y + 1-y = 0$

$6y + 6y^2 + 1 - y = 0$

$6y^2 + 5y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$y_1 = \frac{-5-1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-5+1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к переменной $\text{x}$:

а) $\cos2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

б) $\cos2x = -\frac{1}{3}$

$2x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi p, p \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi p, p \in \mathbb{Z}$

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \pi n; \ x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n; \ x = \pm\frac{1}{2}\arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.