Номер 9.138, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.138. 1) $\sin 2x - 3\cos^2 x = 4;$

2) $\sin^4 x - \cos^4 x = \frac{1}{2}.$

1)

Исходное уравнение: $sin(2x) - 3cos^2(x) = 4$.

Для решения этого уравнения преобразуем его, используя тригонометрические тождества, чтобы все функции зависели от одного аргумента. Удобнее всего привести все к аргументу $2x$.

Используем формулу понижения степени для косинуса: $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$sin(2x) - 3 \cdot \frac{1 + cos(2x)}{2} = 4$.

Раскроем скобки и упростим:

$sin(2x) - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}cos(2x) = 4$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$sin(2x) - \frac{3}{2}cos(2x) = 4 + \frac{3}{2}$.

$sin(2x) - \frac{3}{2}cos(2x) = \frac{11}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2sin(2x) - 3cos(2x) = 11$.

Это уравнение вида $a \sin(u) + b \cos(u) = c$, где $u = 2x$, $a = 2$, $b = -3$, $c = 11$.

Левая часть такого уравнения ограничена по модулю значением $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Вычислим это значение:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Таким образом, максимальное значение выражения $2sin(2x) - 3cos(2x)$ равно $\sqrt{13}$.

Правая часть уравнения равна 11.

Сравним $\sqrt{13}$ и $11$. Так как $13 < 121$, то $\sqrt{13} < 11$.

Поскольку максимальное значение левой части ($\sqrt{13}$) меньше, чем значение правой части (11), равенство никогда не может быть достигнуто.

Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

2)

Исходное уравнение: $sin^4(x) - cos^4(x) = \frac{1}{2}$.

Левую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$sin^4(x) - cos^4(x) = (sin^2(x))^2 - (cos^2(x))^2 = (sin^2(x) - cos^2(x))(sin^2(x) + cos^2(x))$.

Теперь применим два основных тригонометрических тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$.

2. Формула косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Отсюда следует, что $sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x)$.

Подставим эти тождества в разложенное выражение:

$(-cos(2x)) \cdot 1 = -cos(2x)$.

Таким образом, исходное уравнение значительно упрощается и принимает вид:

$-cos(2x) = \frac{1}{2}$.

Умножим на -1:

$cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решим его относительно аргумента $2x$:

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем это значение:

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in Z$.

Чтобы найти $\text{x}$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in Z$.