Номер 9.134, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.134-9.137 решите уравнения.

9.134. 1) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $;

2) $ \operatorname{tg}\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = 1 $.

1) Дано тригонометрическое уравнение: $ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} $

Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $, где $ |a| \le 1 $, имеет вид: $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ y = x - \frac{\pi}{3} $ и $ a = \frac{1}{2} $. Значение $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) $ равно $ \frac{\pi}{6} $.

Подставляем эти значения в общую формулу: $ x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $

Теперь выразим $ x $, перенеся $ \frac{\pi}{3} $ в правую часть: $ x = \frac{\pi}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Это и есть решение уравнения. Можно также рассмотреть два случая для $ k $:

1. Если $ k=2n $ (четное), то $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi+\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $.

2. Если $ k=2n+1 $ (нечетное), то $ x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + (2n+1)\pi = \frac{2\pi-\pi}{6} + 2\pi n + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $.

Оба представления ответа являются верными. Запишем в общей форме.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Дано тригонометрическое уравнение: $ \text{tg}\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=1 $

Общее решение уравнения $ \text{tg}(y) = a $ имеет вид: $ y = \text{arctg}(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ y = 2x - \frac{\pi}{6} $ и $ a = 1 $. Значение $ \text{arctg}(1) $ равно $ \frac{\pi}{4} $.

Подставляем эти значения в общую формулу: $ 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \pi n $

Теперь выразим $ x $. Сначала перенесем $ \frac{\pi}{6} $ в правую часть: $ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi n $

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $ 2x = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + \pi n $ $ 2x = \frac{5\pi}{12} + \pi n $

Разделим обе части уравнения на 2: $ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.