Номер 9.127, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.127-9.129 упростите выражения.

9.127. 1) $\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x}$

2) $\frac{\sin x - 3 \sin 2x + \sin 3x}{\cos x - 3 \cos 2x + \cos 3x}$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

Формула суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Формула суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби.

Преобразуем числитель:

$\sin x + \sin 3x = 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin\frac{4x}{2}\cos\frac{2x}{2} = 2\sin 2x \cos x$

Преобразуем знаменатель:

$\cos x + \cos 3x = 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos\frac{4x}{2}\cos\frac{2x}{2} = 2\cos 2x \cos x$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = \frac{2\sin 2x \cos x}{2\cos 2x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$

Используя определение тангенса $\text{tg } \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \text{tg } 2x$

Ответ: $\text{tg } 2x$

2) Для упрощения второго выражения сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе:

$\frac{\sin x - 3\sin 2x + \sin 3x}{\cos x - 3\cos 2x + \cos 3x} = \frac{(\sin x + \sin 3x) - 3\sin 2x}{(\cos x + \cos 3x) - 3\cos 2x}$

Суммы в скобках нам уже знакомы из предыдущего пункта:

$\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x$

$\cos x + \cos 3x = 2\cos 2x \cos x$

Подставим эти результаты в наше выражение:

$\frac{2\sin 2x \cos x - 3\sin 2x}{2\cos 2x \cos x - 3\cos 2x}$

Теперь вынесем общие множители за скобки. В числителе это $\sin 2x$, а в знаменателе - $\cos 2x$:

$\frac{\sin 2x (2\cos x - 3)}{\cos 2x (2\cos x - 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2\cos x - 3)$. Это действие корректно, так как данный множитель никогда не равен нулю. Значение функции косинуса лежит в пределах от -1 до 1, поэтому $2\cos x$ находится в диапазоне от -2 до 2, и выражение $2\cos x - 3$ никогда не обращается в ноль.

После сокращения получаем:

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \text{tg } 2x$

Ответ: $\text{tg } 2x$