Номер 9.128, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.127-9.129 упростите выражения.

9.128. 1) $\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}, \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;$

2) $\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}} + \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}, 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}.$

1)

Дано выражение $ \sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}} $ при условии $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Для упрощения приведем оба члена к общему знаменателю $ \sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} $:

$ \frac{(\sqrt{1+\sin\alpha})^2 - (\sqrt{1-\sin\alpha})^2}{\sqrt{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)}} = \frac{(1+\sin\alpha) - (1-\sin\alpha)}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} $

Упростим числитель: $ 1+\sin\alpha - 1+\sin\alpha = 2\sin\alpha $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, преобразуем знаменатель: $ \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha| $.

В результате выражение принимает вид: $ \frac{2\sin\alpha}{|\cos\alpha|} $.

Согласно условию, угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $). В этой четверти $ \cos\alpha < 0 $, поэтому $ |\cos\alpha| = -\cos\alpha $. Также во второй четверти $ \sin\alpha > 0 $.

Подставим значение модуля косинуса в полученное выражение:

$ \frac{2\sin\alpha}{-\cos\alpha} = -2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -2\tan\alpha $.

Ответ: $ -2\tan\alpha $

2)

Дано выражение $ \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}} + \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} $ при условии $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ \sqrt{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)} $:

$ \frac{(\sqrt{1+\cos\alpha})^2 + (\sqrt{1-\cos\alpha})^2}{\sqrt{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}} = \frac{(1+\cos\alpha) + (1-\cos\alpha)}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}} $

Упростим числитель: $ 1+\cos\alpha + 1-\cos\alpha = 2 $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, преобразуем знаменатель: $ \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{\sin^2\alpha} = |\sin\alpha| $.

Таким образом, выражение упрощается до: $ \frac{2}{|\sin\alpha|} $.

Согласно условию, угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $). В этой четверти $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ |\sin\alpha| = \sin\alpha $.

Подставим значение модуля синуса в полученное выражение:

$ \frac{2}{\sin\alpha} $.

Ответ: $ \frac{2}{\sin\alpha} $