Номер 9.132, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.132. Найдите значение $ \cos 2 \alpha $, если $ 2 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha = 1 $.

Для нахождения значения $\cos(2\alpha)$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Рассмотрим данное в условии уравнение:

$2\cos\alpha + 2\cos^2\alpha = 1$

Перепишем его в виде квадратного уравнения относительно $\cos\alpha$:

$2\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1 = 0$

Сделаем замену $x = \cos\alpha$, чтобы решить это уравнение:

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=2$, $b=2$, $c=-1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Таким образом, мы получили два возможных значения для $\cos\alpha$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$

Нам известно, что область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Проверим найденные корни:

1. $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{-1 + 1.732}{2} = 0.366$. Это значение находится в допустимом диапазоне.

2. $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2} \approx \frac{-1 - 1.732}{2} = -1.366$. Это значение меньше -1, поэтому оно не является решением.

Следовательно, единственно возможное значение для $\cos\alpha$ это $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Теперь найдем $\cos(2\alpha)$. Из исходного уравнения $2\cos\alpha + 2\cos^2\alpha = 1$ можно выразить $2\cos^2\alpha$:

$2\cos^2\alpha = 1 - 2\cos\alpha$

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = (1 - 2\cos\alpha) - 1 = -2\cos\alpha$

Теперь, зная, что $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, мы можем вычислить $\cos(2\alpha)$:

$\cos(2\alpha) = -2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) = -(\sqrt{3}-1) = 1 - \sqrt{3}$

Ответ: $1 - \sqrt{3}$.