Номер 9.136, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.134-9.137 решите уравнения.

9.136. 1) $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\sin x\right)=\frac{1}{2};$

2) $\cos\left(\frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\sin 2x\right)=1.$

1) Решим уравнение $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\sin x\right) = \frac{1}{2} $.

Введем замену. Пусть $ t = \frac{2\pi}{3}\sin x $. Область значений функции синус: $ -1 \le \sin x \le 1 $. Следовательно, для переменной $\text{t}$ существует ограничение:

$ \frac{2\pi}{3} \cdot (-1) \le t \le \frac{2\pi}{3} \cdot 1 $

$ -\frac{2\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3} $

Уравнение принимает вид $ \sin t = \frac{1}{2} $. Общее решение этого уравнения: $ t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо выбрать те значения $\text{t}$, которые попадают в найденный промежуток $ \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right] $.

Проверим несколько значений $\text{n}$:

- При $ n = 0 $: $ t = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6} $. Это значение удовлетворяет условию, так как $ -\frac{2\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} $.

- При $ n = 1 $: $ t = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} $. Это значение не удовлетворяет условию, так как $ \frac{5\pi}{6} > \frac{2\pi}{3} $ ($ \frac{5\pi}{6} > \frac{4\pi}{6} $).

- При $ n = -1 $: $ t = (-1)^{-1} \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} $. Это значение не удовлетворяет условию, так как $ -\frac{7\pi}{6} < -\frac{2\pi}{3} $ ($ -\frac{7\pi}{6} < -\frac{4\pi}{6} $).

При других целых значениях $\text{n}$ (больших 1 или меньших -1) модуль $\text{t}$ будет еще больше, поэтому других решений для $\text{t}$ нет.

Единственное подходящее значение $ t = \frac{\pi}{6} $.

Вернемся к замене:

$ \frac{2\pi}{3}\sin x = \frac{\pi}{6} $

Выразим $ \sin x $:

$ \sin x = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{3}{2\pi} = \frac{3\pi}{12\pi} = \frac{1}{4} $

Решением данного простейшего тригонометрического уравнения является $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \cos\left(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\sin 2x\right) = 1 $.

Функция косинус равна 1, когда ее аргумент равен $ 2\pi n $ для любого целого числа $\text{n}$.

$ \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\sin 2x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Выразим из этого уравнения $ \sin 2x $. Для этого сначала умножим обе части на $ \frac{3}{\pi} $:

$ 3 \cdot \frac{5\pi}{3\pi} + 3 \cdot \frac{\pi}{3\pi}\sin 2x = 3 \cdot \frac{2\pi n}{\pi} $

$ 5 + \sin 2x = 6n $

$ \sin 2x = 6n - 5 $

Поскольку область значений функции синус — это отрезок $ [-1, 1] $, должно выполняться двойное неравенство:

$ -1 \le 6n - 5 \le 1 $

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$ -1 + 5 \le 6n \le 1 + 5 $

$ 4 \le 6n \le 6 $

Разделим все части на 6:

$ \frac{4}{6} \le n \le \frac{6}{6} $

$ \frac{2}{3} \le n \le 1 $

Так как $\text{n}$ по определению является целым числом, единственное возможное значение — это $ n=1 $.

Подставим $ n=1 $ в уравнение для $ \sin 2x $:

$ \sin 2x = 6(1) - 5 = 1 $

Решим полученное уравнение $ \sin 2x = 1 $.

Это частный случай, решение которого имеет вид $ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Чтобы найти $\text{x}$, разделим обе части на 2:

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.