Номер 9.135, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.134-9.137 решите уравнения.

9.135. 1) $2\sin x + 3\cos x = 0$;

2) $\sin^2 3x = \cos^2 3x$.

1)

Дано уравнение $2\sin x + 3\cos x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, нужно проверить, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $2\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$2\frac{\sin x}{\cos x} + 3\frac{\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$2\tan x + 3 = 0$

Теперь выразим $\tan x$:

$2\tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, можно записать ответ следующим образом:

$x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $\sin^2{3x} = \cos^2{3x}$.

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

$\cos^2{3x} - \sin^2{3x} = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В данном случае $\alpha = 3x$.

Применяя эту формулу, мы упрощаем уравнение:

$\cos(2 \cdot 3x) = 0$

$\cos(6x) = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решения для уравнения $\cos y = 0$ имеют вид $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $y = 6x$, поэтому:

$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $\text{x}$, разделим обе части равенства на 6:

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.