Номер 9.140, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.140. 1) $ \cos x = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos 3x $;

2) $ \sin 3x + \sin x = 4 \sin^2 x $.

1) Дано уравнение $\cos x = \sqrt{3}\sin x + 2\cos 3x$.

Перегруппируем члены уравнения, чтобы использовать метод вспомогательного угла:

$\cos x - \sqrt{3}\sin x = 2\cos 3x$

Преобразуем левую часть. Коэффициент при $\cos x$ равен $\text{1}$, при $\sin x$ равен $-\sqrt{3}$. Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$:

$2\left(\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = 2\cos 3x$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Подставим эти значения:

$2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\sin x\right) = 2\cos 3x$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2\cos 3x$

Разделим обе части на 2:

$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos 3x$

Равенство $\cos A = \cos B$ выполняется, когда $A = \pm B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим два случая:

а) $x + \frac{\pi}{3} = 3x + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} - 2\pi k = 2x$

$x = \frac{\pi}{6} - \pi k$

Поскольку $\text{k}$ может быть любым целым числом, можно заменить $-k$ на $\text{k}$, получив $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $x + \frac{\pi}{3} = -3x + 2\pi k$

$4x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем два семейства корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\sin 3x + \sin x = 4\sin^3 x$.

Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(3\sin x - 4\sin^3 x) + \sin x = 4\sin^3 x$

Упростим левую часть:

$4\sin x - 4\sin^3 x = 4\sin^3 x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$4\sin x - 8\sin^3 x = 0$

Вынесем общий множитель $4\sin x$ за скобки:

$4\sin x (1 - 2\sin^2 x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $1 - 2\sin^2 x = 0$

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Таким образом, уравнение принимает вид $\cos(2x) = 0$.

Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения обоих случаев.

Ответ: $x = \pi k, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, k, n \in \mathbb{Z}$.