Номер 9.146, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.145-9.149 решите уравнения.

9.146. 1) $\arctg^2(3x+2) + 2\arctg(3x+2) = 0$;

2) $2\arcsin x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9\arcsin x}$.

1) Решим уравнение $\text{arctg}^2(3x + 2) + 2\text{arctg}(3x + 2) = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $\text{arctg}(3x + 2)$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \text{arctg}(3x + 2)$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 + 2y = 0$

Вынесем $\text{y}$ за скобки:

$y(y + 2) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $y = 0$ или $y = -2$.

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$.

Случай 1: $y = 0$

$\text{arctg}(3x + 2) = 0$

По определению арктангенса, это означает, что аргумент равен тангенсу нуля:

$3x + 2 = \text{tg}(0)$

$3x + 2 = 0$

$3x = -2$

$x = -\frac{2}{3}$

Случай 2: $y = -2$

$\text{arctg}(3x + 2) = -2$

Область значений функции арктангенс $E(\text{arctg})$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Таким образом, область значений функции примерно $(-1.57; 1.57)$.

Значение $-2$ не принадлежит этому интервалу, так как $-2 < -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, уравнение $\text{arctg}(3x + 2) = -2$ не имеет решений.

Единственным решением исходного уравнения является $x = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

2) Решим уравнение $2\text{arcsin}x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9\text{arcsin}x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Аргумент функции $\text{arcsin}x$ должен находиться в пределах от $-1$ до $\text{1}$, то есть $-1 \le x \le 1$.

2. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю, то есть $\text{arcsin}x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-1; 0) \cup (0; 1]$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \text{arcsin}x$. Уравнение примет вид:

$2y = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi^2}{9y}$

Умножим обе части на $9y$ (так как по ОДЗ $y \neq 0$):

$18y^2 = 3\pi y + \pi^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$18y^2 - 3\pi y - \pi^2 = 0$

Решим это уравнение относительно $\text{y}$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2$

$\sqrt{D} = \sqrt{81\pi^2} = 9\pi$

Найдем корни для $\text{y}$:

$y_1 = \frac{-(-3\pi) + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$

$y_2 = \frac{-(-3\pi) - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$

Оба найденных значения для $\text{y}$ принадлежат области значений функции арксинус, которая равна $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. $\text{arcsin}x = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. $\text{arcsin}x = -\frac{\pi}{6} \implies x = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Оба корня, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$, принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}$.