Номер 9.153, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.151-9.154 решите неравенства.

9.153. 1) $\sqrt{3}\cot\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>1$;

2) $4\sin(2x)\cos(2x) \ge \sqrt{2}$.

1) Решим неравенство $\sqrt{3}\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - 2x) > 1$.

Для начала разделим обе части неравенства на $\sqrt{3}$:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - 2x) > \frac{1}{\sqrt{3}}$

Введем замену $t = \frac{\pi}{4} - 2x$. Неравенство примет вид $\text{ctg}(t) > \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Решением этого базового тригонометрического неравенства является совокупность интервалов. Общее решение для неравенства $\text{ctg}(t) > a$ имеет вид $k\pi < t < \text{arcctg}(a) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$, и мы знаем, что $\text{arcctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, получаем двойное неравенство для $\text{t}$:

$k\pi < t < \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $\text{x}$, подставив $t = \frac{\pi}{4} - 2x$:

$k\pi < \frac{\pi}{4} - 2x < \frac{\pi}{3} + k\pi$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$k\pi - \frac{\pi}{4} < -2x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + k\pi$

$k\pi - \frac{\pi}{4} < -2x < \frac{4\pi - 3\pi}{12} + k\pi$

$k\pi - \frac{\pi}{4} < -2x < \frac{\pi}{12} + k\pi$

Теперь разделим все части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{k\pi - \frac{\pi}{4}}{-2} > x > \frac{\frac{\pi}{12} + k\pi}{-2}$

$-\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{8} > x > -\frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{24}$

Запишем это в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части:

$-\frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{24} < x < -\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\text{k}$ является любым целым числом, то и $-k$ также пробегает все целые числа. Можно заменить $-k$ на $\text{n}$ ($n \in \mathbb{Z}$) для более изящного вида ответа, но и исходная форма является полностью корректной.

Ответ: $x \in (-\frac{k\pi}{2} - \frac{\pi}{24}; -\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{8})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $4\sin(2x)\cos(2x) \ge \sqrt{2}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. В нашем случае аргумент $\alpha = 2x$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$4\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = 2\sin(2 \cdot 2x) = 2\sin(4x)$.

Теперь неравенство принимает вид:

$2\sin(4x) \ge \sqrt{2}$

Разделим обе части на 2:

$\sin(4x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

Введем замену $t = 4x$. Неравенство становится $\sin(t) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для неравенства $\sin(t) \ge a$ (при $|a| \le 1$) имеет вид $\arcsin(a) + 2k\pi \le t \le \pi - \arcsin(a) + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение, получаем двойное неравенство для $\text{t}$:

$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le t \le \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Теперь вернемся к исходной переменной $\text{x}$, подставив $t = 4x$:

$\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le 4x \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Разделим все части неравенства на 4, чтобы выразить $\text{x}$:

$\frac{1}{4}(\frac{\pi}{4} + 2k\pi) \le x \le \frac{1}{4}(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi)$

$\frac{\pi}{16} + \frac{2k\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{16} + \frac{2k\pi}{4}$

$\frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}; \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.