Номер 9.155, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.155. Найдите решения неравенства на указанном промежутке:

1) $\cos \frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in \left[-\frac{\pi}{2}; 0\right];$

2) $\sin 2x < \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in [0; \pi].$

1)

Дано неравенство $ \cos\frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2} $ на промежутке $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} $.

Найдем, какому промежутку принадлежит $ t $, если $ x \in [-\frac{\pi}{2}; 0] $.

Если $ x = -\frac{\pi}{2} $, то $ t = \frac{-\pi/2}{2} = -\frac{\pi}{4} $.

Если $ x = 0 $, то $ t = \frac{0}{2} = 0 $.

Таким образом, переменная $ t $ принадлежит промежутку $ [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

Теперь решим неравенство $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ для $ t \in [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

Общее решение неравенства $ \cos t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ имеет вид $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Нам нужно найти пересечение этого решения с промежутком $ [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

При $ n = 0 $ получаем интервал $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) $.

Найдем пересечение интервала $ (-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}) $ и отрезка $ [-\frac{\pi}{4}; 0] $.

Так как $ -\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{6} < 0 < \frac{\pi}{6} $, то пересечением будет промежуток $ (-\frac{\pi}{6}, 0] $.

Итак, решение для $ t $: $ -\frac{\pi}{6} < t \le 0 $.

Сделаем обратную замену $ t = \frac{x}{2} $:

$ -\frac{\pi}{6} < \frac{x}{2} \le 0 $.

Умножим все части двойного неравенства на 2:

$ -\frac{\pi}{3} < x \le 0 $.

Этот промежуток полностью содержится в заданном промежутке $ [-\frac{\pi}{2}; 0] $ и является решением.

Ответ: $ (-\frac{\pi}{3}; 0] $.

2)

Дано неравенство $ \sin 2x < \frac{\sqrt{2}}{2} $ на промежутке $ x \in [0; \pi] $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $.

Найдем, какому промежутку принадлежит $ t $, если $ x \in [0; \pi] $.

Если $ x = 0 $, то $ t = 2 \cdot 0 = 0 $.

Если $ x = \pi $, то $ t = 2 \cdot \pi = 2\pi $.

Таким образом, переменная $ t $ принадлежит промежутку $ [0; 2\pi] $.

Теперь решим неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ для $ t \in [0; 2\pi] $.

Найдем значения $ t $ из промежутка $ [0; 2\pi] $, для которых $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это $ t_1 = \frac{\pi}{4} $ и $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Рассматривая единичную окружность или график функции $ y = \sin t $, видим, что на промежутке $ [0; 2\pi] $ неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{2}}{2} $ выполняется, когда $ t $ принадлежит объединению промежутков:

$ [0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, 2\pi] $.

Сделаем обратную замену $ t = 2x $ для каждого из полученных промежутков.

1) $ 0 \le 2x < \frac{\pi}{4} $. Разделив на 2, получаем $ 0 \le x < \frac{\pi}{8} $.

2) $ \frac{3\pi}{4} < 2x \le 2\pi $. Разделив на 2, получаем $ \frac{3\pi}{8} < x \le \pi $.

Оба полученных промежутка для $ x $ входят в заданный промежуток $ [0; \pi] $. Объединяя их, получаем итоговое решение.

Ответ: $ [0; \frac{\pi}{8}) \cup (\frac{3\pi}{8}; \pi] $.