Номер 9.162, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.158-9.163 упростите выражения.

9.162. $\frac{\left(m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2}{\left(n^{-\frac{1}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}\right)\left(n^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}}\right)} - 2n + \frac{4n^2}{n-m}$

9.162. Упростим данное выражение пошагово.

1. Сначала упростим числитель первой дроби: $\left(m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}} + m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2$.

Воспользуемся тождеством $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$.

Пусть $a = m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}}$ и $b = m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}$.

Тогда:

$a^2 = \left(m^{\frac{5}{6}}n^{-\frac{1}{6}}\right)^2 = m^{\frac{5}{3}}n^{-\frac{1}{3}}$

$b^2 = \left(m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}\right)^2 = m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}}$

Числитель равен $2(a^2+b^2) = 2\left(m^{\frac{5}{3}}n^{-\frac{1}{3}} + m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{2}{3}}\right)$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$2m^{\frac{2}{3}}n^{-\frac{1}{3}}\left(m^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} + n^{\frac{2}{3}-(-\frac{1}{3})}\right) = 2m^{\frac{2}{3}}n^{-\frac{1}{3}}(m+n)$.

2. Теперь упростим знаменатель первой дроби: $\left(n^{-\frac{1}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}\right)\left(n^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{2}{3}} + n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}}\right)$.

Раскроем скобки, перемножив каждый член первого выражения на каждый член второго:

$= n^{-\frac{1}{3}}n^{\frac{2}{3}} + n^{-\frac{1}{3}}m^{\frac{2}{3}} + n^{-\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}n^{\frac{2}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}m^{\frac{2}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}m^{\frac{1}{3}}$

$= n^{\frac{1}{3}} + n^{-\frac{1}{3}}m^{\frac{2}{3}} + m^{\frac{1}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}n^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{1}{3}}$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$= n^{-\frac{1}{3}}m^{\frac{2}{3}} - m^{-\frac{1}{3}}n^{\frac{2}{3}} = \frac{m^{\frac{2}{3}}}{n^{\frac{1}{3}}} - \frac{n^{\frac{2}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}} = \frac{m^{\frac{2}{3}}m^{\frac{1}{3}} - n^{\frac{2}{3}}n^{\frac{1}{3}}}{m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}} = \frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}}$.

3. Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{2m^{\frac{2}{3}}n^{-\frac{1}{3}}(m+n)}{\frac{m-n}{m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}}} = \frac{2m^{\frac{2}{3}}n^{-\frac{1}{3}}(m+n) \cdot m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}}{m-n} = \frac{2m^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}n^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}(m+n)}{m-n} = \frac{2m(m+n)}{m-n}$.

4. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$\frac{2m(m+n)}{m-n} - 2n + \frac{4n^2}{n-m} = \frac{2m(m+n)}{m-n} - 2n - \frac{4n^2}{m-n}$.

Приведем все к общему знаменателю $(m-n)$:

$\frac{2m(m+n) - 2n(m-n) - 4n^2}{m-n} = \frac{2m^2+2mn - 2mn+2n^2 - 4n^2}{m-n} = \frac{2m^2 - 2n^2}{m-n}$.

Применим формулу разности квадратов к числителю и сократим дробь:

$\frac{2(m^2 - n^2)}{m-n} = \frac{2(m-n)(m+n)}{m-n} = 2(m+n)$.

Ответ: $2(m+n)$.