Номер 9.160, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.158-9.163 упростите выражения.

9.160.

1) $a^{\frac{5}{3}} b^{-\frac{1}{6}}\left(a^{-\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}\right)^{4}$

2) $\left(c^{-\frac{7}{8}} x^{-0.4}\right)^{3} c^{\frac{2}{7}} x^{0.2}$

3) $\sqrt[10]{c^{3} \sqrt{c^{2}}}$

1) Для упрощения выражения $a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{6}}\left(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)^4$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала возведем в степень выражение в скобках, используя правило $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$\left(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)^4 = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^4 \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^4 = a^{\frac{1}{3} \cdot 4} b^{\frac{1}{3} \cdot 4} = a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}.$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}.$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило $x^m x^n = x^{m+n}$:

$(a^{\frac{5}{6}}a^{\frac{4}{3}})(b^{\frac{1}{6}}b^{\frac{4}{3}}) = a^{\frac{5}{6}+\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{6}+\frac{4}{3}}.$

Сложим показатели степеней, приведя дроби к общему знаменателю:

Для основания $\text{a}$: $\frac{5}{6} + \frac{4}{3} = \frac{5}{6} + \frac{8}{6} = \frac{13}{6}.$

Для основания $\text{b}$: $\frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{1}{6} + \frac{8}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид:

$a^{\frac{13}{6}}b^{\frac{3}{2}}.$

Ответ: $a^{\frac{13}{6}}b^{\frac{3}{2}}.$

2) Упростим выражение $\left(c^{-\frac{7}{8}}x^{-0.4}\right)^3 c^{\frac{2}{7}}x^{0.2}$, используя свойства степеней.

Сначала возведем в степень выражение в скобках, используя правило $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$\left(c^{-\frac{7}{8}}x^{-0.4}\right)^3 = \left(c^{-\frac{7}{8}}\right)^3 \left(x^{-0.4}\right)^3 = c^{-\frac{7}{8} \cdot 3} x^{-0.4 \cdot 3} = c^{-\frac{21}{8}}x^{-1.2}.$

Подставим полученное выражение обратно:

$c^{-\frac{21}{8}}x^{-1.2} \cdot c^{\frac{2}{7}}x^{0.2}.$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило $x^m x^n = x^{m+n}$:

$(c^{-\frac{21}{8}}c^{\frac{2}{7}})(x^{-1.2}x^{0.2}) = c^{-\frac{21}{8}+\frac{2}{7}}x^{-1.2+0.2}.$

Вычислим показатели степеней:

Для основания $\text{c}$: $-\frac{21}{8} + \frac{2}{7} = \frac{-21 \cdot 7 + 2 \cdot 8}{56} = \frac{-147 + 16}{56} = -\frac{131}{56}.$

Для основания $\text{x}$: $-1,2 + 0,2 = -1.$

В итоге получаем:

$c^{-\frac{131}{56}}x^{-1}.$

Ответ: $c^{-\frac{131}{56}}x^{-1}.$

3) Для упрощения выражения $\sqrt[10]{c\sqrt[3]{c^2}}$ представим корни в виде степеней с дробными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Сначала преобразуем внутренний корень:

$\sqrt[3]{c^2} = c^{\frac{2}{3}}.$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[10]{c \cdot c^{\frac{2}{3}}}.$

Упростим выражение под корнем, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m x^n = x^{m+n}$:

$c \cdot c^{\frac{2}{3}} = c^1 \cdot c^{\frac{2}{3}} = c^{1+\frac{2}{3}} = c^{\frac{3}{3}+\frac{2}{3}} = c^{\frac{5}{3}}.$

Выражение принимает вид:

$\sqrt[10]{c^{\frac{5}{3}}}.$

Теперь преобразуем внешний корень в степень, используя правило $(x^m)^n = x^{mn}$:

$\left(c^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{10}} = c^{\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{10}} = c^{\frac{5}{30}}.$

Сократим показатель степени:

$\frac{5}{30} = \frac{1}{6}.$

Окончательный результат:

$c^{\frac{1}{6}}.$

Ответ: $c^{\frac{1}{6}}.$