Номер 9.163, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.158-9.163 упростите выражения.

9.163. $\frac{\left(a^{\frac{5}{9}} b^{\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}} b^{\frac{2}{9}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3 b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}\right)} - \frac{(a-b)^2}{2(a+b)} + \frac{a+b}{2}$

9.163. Для упрощения выражения выполним преобразования по действиям.

1. Рассмотрим первую дробь: $\frac{\left(a^{\frac{5}{9}}b^{-\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3b}\right)}{\left(\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)}$.

а) Преобразуем числитель. Обозначим его $\text{N}$.

$N = \left(a^{\frac{5}{9}}b^{-\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3b}\right)$.

Упростим первое слагаемое. Сначала вынесем общий множитель из выражения в скобках:

$a^{\frac{5}{9}}b^{-\frac{1}{9}} - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} = a^{\frac{2}{9}}b^{-\frac{1}{9}}\left(a^{\frac{3}{9}} - b^{\frac{3}{9}}\right) = a^{\frac{2}{9}}b^{-\frac{1}{9}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)$.

Возведем полученное выражение в куб:

$\left(a^{\frac{2}{9}}b^{-\frac{1}{9}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\right)^3 = a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)^3$.

Используя формулу куба разности $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$, где $x=a^{\frac{1}{3}}$ и $y=b^{\frac{1}{3}}$, раскроем скобки:

$a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}\left(a - 3a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}} + 3a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} - b\right) = a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{1}{3}} - 3a^{\frac{4}{3}} + 3ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}$.

Теперь упростим второе слагаемое числителя:

$3\left(\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{a^3b}\right) = 3(a^{\frac{4}{3}} - ab^{\frac{1}{3}}) = 3a^{\frac{4}{3}} - 3ab^{\frac{1}{3}}$.

Сложим оба преобразованных слагаемых, чтобы найти $\text{N}$:

$N = \left(a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{1}{3}} - 3a^{\frac{4}{3}} + 3ab^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}\right) + \left(3a^{\frac{4}{3}} - 3ab^{\frac{1}{3}}\right) = a^{\frac{5}{3}}b^{-\frac{1}{3}} - a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}$.

Вынесем общий множитель $a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}$:

$N = a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}(a-b)$.

б) Преобразуем знаменатель. Обозначим его $\text{D}$.

$D = \left(\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}\right)$.

Первый множитель: $\sqrt[3]{a^{-1}} + \sqrt[3]{b^{-1}} = a^{-\frac{1}{3}} + b^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{b^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{(ab)^{\frac{1}{3}}}$.

Второй множитель $a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$ является неполным квадратом разности. Умножая его на первый множитель, мы применяем формулу суммы кубов:

$D = \frac{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}}{(ab)^{\frac{1}{3}}} \left(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) = \frac{(a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3}{(ab)^{\frac{1}{3}}} = \frac{a+b}{(ab)^{\frac{1}{3}}}$.

в) Найдем значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{N}{D} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}(a-b)}{(a+b)/(ab)^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}(a-b) \cdot (ab)^{\frac{1}{3}}}{a+b} = \frac{a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}(a-b) \cdot a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{a+b} = \frac{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}(a-b)}{a+b} = \frac{a(a-b)}{a+b}$.

2. Упростим оставшуюся часть выражения: $-\frac{(a-b)^2}{2(a+b)} + \frac{a+b}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2(a+b)$:

$\frac{-(a-b)^2 + (a+b)(a+b)}{2(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a+b)}$.

В числителе используем формулу разности квадратов: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab$.

Таким образом, эта часть выражения равна $\frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$.

3. Сложим полученные результаты:

$\frac{a(a-b)}{a+b} + \frac{2ab}{a+b} = \frac{a(a-b)+2ab}{a+b} = \frac{a^2-ab+2ab}{a+b} = \frac{a^2+ab}{a+b}$.

Вынесем $\text{a}$ в числителе за скобку и сократим дробь (при условии $a+b \neq 0$):

$\frac{a(a+b)}{a+b} = a$.

Ответ: $\text{a}$.